Cómo calcular una función exponencial

Escrito por paul dohrman | Traducido por juliana star
Cómo calcular una función exponencial

Una función exponencial tiene una constante como base de un exponente variable.

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Una función exponencial tiene una constante como base de un exponente variable. Desde luego, cuando el exponente asume un valor entero positivo la función simplemente es igual al producto de ese número de bases. Por ejemplo, 2^x es 2x2x2=8 cuando x=3. Aquí el acento circunflejo ^ se refiere a la exponenciación. Los cálculos se vuelven más complejos cuando eliminas ciertos supuestos, como que x es un entero o que es positivo. El número e=2.718281… es de especial interés para los financistas y científicos. Este número irracional, llamado "Número de Euler" o la base del logaritmo natural, tiene la interesante propiedad de que e^x tiene una pendiente en x que es igual al valor de e^x en sí mismo. Esta función describe procesos continuos encontrados en las finanzas y en la física, como la capitalización continua y la desintegración radiactiva.

Nivel de dificultad:
Moderadamente difícil

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Instrucciones

    Operaciones simples

  1. 1

    Define la función exponencial C^x, si x<0, para que sea recíproca a C^(-x). Por ejemplo, 2^(-2) es igual a 1/(2^2)=1/4.

  2. 2

    Define la función exponencial C^x para que sea 1 si x=0. Esto tiene sentido porque, por ejemplo, 2^3 / 2^3 = 1 y 2^3 / 2^3 = 2^(3-3). Por lo tanto es lógico definir 2^0 como 1.

  3. 3

    Define la función exponencial C^x cuando x no es un entero sino un número racional como se demuestra en este ejemplo. Denota 2^(3/4) con la letra E, como un marcador, dado que es la incógnita pero aún debes ser capaz de manipularla algebráicamente. E^4=2^3=8. Así que resuelve para el numero E, que cuando se eleva a la cuarta potencia es igual a 8. Quizá necesites usar un método de prueba y error del campo de análisis numérico para encontrar ese número E. Revisa la siguiente sección para aprender a hacerlo.

    Aproximaciones

  1. 1

    Determina la función exponencial C^x cuando x es irracional por aproximación, primero redondeando x a cierto número de dígitos. Por ejemplo, supón que quieres determinar 2^x con x=?2. La raíz cuadrada de 2 es 1.4142…. Redondea a 1.414.

  2. 2

    Divide el exponente redondeado entre un factor de 10 para deshacerte del punto decimal. Continúa con el ejemplo descrito anteriormente, 2^1.414 se convierte en 2^(1414/1000).

  3. 3

    Establece la función exponencial con la letra E. Eleva ambos lados a una potencia igual al denominador del exponente. Mueve ambas partes al mismo lado del signo igual. Define ésta como una nueva función. Ten en cuenta que debes resolver para E. Continuando con el ejemplo anterior, 2^(1414/1000) = E. Por lo tanto, 2^1414 = E^1000. Mueve todo a un lado y conviértelo en una nueva función: f(E) = 2^1414 - E^1000 = 0

  4. 4

    Supón un valor para E llamándolo E_1. Insértalo en f(E) y observa cuál es su signo. Luego encuentra un valor cercano a E que dé como resultado el signo opuesto. Llámalo E_2. No lo resuelvas usando una calculadora, ni siquiera Excel, ya que estas herramientas no registran exponentes tan altos. Necesitarás programar una computadora para hacerlo.

  5. 5

    Obtén el promedio de E_1 y E_2. Llámalo E_3. Obtén el signo de f(E_3). Sustituye E_3 para el que E_1 y E_2 producen el mismo signo en f(E).

  6. 6

    Repite el paso 5 hasta que obtengas un valor E_n tan cercano al valor E real como lo desees. En el campo del análisis numérico este procedimiento de iteración es llamado método de bisección.

Consejos y advertencias

  • Una de las propiedades de una función exponencial con una base positiva es que siempre es positiva para todos los valores de x. Quizá te preguntes qué condiciones pueden hacer negativa a una función exponencial, o más específicamente, cómo se ve un gráfico de una función exponencial con base negativa. Se puede demostrar que tal función, como (-3)^x, es discontinua en cada punto (en el que puede definirse), yendo de un lado a otro entre el negativo y el positivo a medida que x cambia (ver Ref. 1).

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