Cómo calcular una integral impropia

Escrito por karl wallulis | Traducido por manuel lama paniagua
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Cómo calcular una integral impropia
Las integrales impropias calculan el área a medida que x llega hasta el infinito positivo o negativo. (Comstock/Comstock/Getty Images)

Las integrales impropias tienen infinito positivo o negativo en uno o ambos de los límites de las integrales. Es difícil imaginar el cálculo del área de un gráfico que se estrecha hasta el infinito positivo o negativo, pero es posible con el uso de límites infinitos. Sustituye temporalmente una variable t en la integral impropia para, a continuación, calcular la integral tomando el límite cuando t tiende al infinito en la antiderivada de la función. Para ciertos tipos de funciones, esto se traducirá en una solución de número real.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

  1. 1

    Vuelve a colocar el integrando impropio (∞ ó - ∞) con una variable de marcador de posición en la integral impropia. Por ejemplo, en la integral de 1 a ∞ de 1/x^2 dx, reemplaza el integrando con ∞ para obtener la integral de 1 a t de 1/x^2 dx.

  2. 2

    Resuelve la integral definida de 1 a t mediante el cálculo de la antiderivada de la función y su evaluación en los valores f(t) y f(1). En el ejemplo anterior, la antiderivada de 1/(x ^ 2) es -1/x. La integral es por tanto igual a -1/t - (-1/1).

  3. 3

    Simplifica la expresión en el paso 2 mediante la distribución de los factores, la combinación de términos semejantes, y la reducción de fracciones. La expresión -1 /t - (-1 / 1) se simplifica a -1/t + 1, o 1 - 1/t.

  4. 4

    Toma el límite de la expresión simplificada de la Etapa 3 a medida que la variable t llega hasta infinito positivo o negativo (sea cual sea el signo de infinito del integrando que has sustituido con t en el paso 1) y simplifica la respuesta. En el ejemplo anterior, el límite de t cuando llega hasta infinito de 1 - 1 / t es 1 - 0, o 1. La integral impropia de 1 a ∞ de la función 1 / x ^ 2 es por lo tanto igual a 1.

Consejos y advertencias

  • Algunas integrales impropias no tienen una solución de número real. Si el límite t tiende a infinito devuelve un resultado no definido en el Paso 4 (por ejemplo, si T está en el numerador en lugar del denominador), entonces la integral impropia tiene un valor indefinido.

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