Cómo calcular el Laplaciano

Escrito por contributing writer | Traducido por mike tazenda
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Cómo calcular el Laplaciano
El Laplaciano es de crucial importancia en física.

El Laplaciano es un operador diferencial que calcula la suma de las derivadas segundas parciales de una función (ver figura). La derivación parcial es un enfoque corriente para obtener las derivadas de funciones de más de una variable. Ésta considera solo una variable en particular a la vez, mientras que las otras se mantienen constantes. El Laplaciano es de crucial importancia en la física, siendo parte de muchas ecuaciones fundamentales (por ejemplo, las ecuaciones de Schrodinger y Helmholtz).

Como ejemplo, calcula el Laplaciano de la función: f(X,Y) = 7X^4 + 4Y^2.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

  1. 1

    Considera las reglas de la derivación que serán usadas en los siguientes pasos:

    Regla N°1: la derivada de la función "X elevada a la p" (por ejemplo, f(X) = CX^p) es df/dX = pCX^(p - 1). C es cualquier número constante. Nota que la derivada se abrevia como df/dX o f’(X).

    Regla N°2: La derivada de cualquier número constante es cero.

  2. 2

    Calcula la derivada parcial primera de la función f(X,Y) respecto de X. Usando las reglas del Paso 1, obtendrás:

    d(7X^4 + 4Y^2)/dX = 4 * 7X^(4 - 1) + 0 = 28X^3.

    Observa que el término “4Y^2” es considerado como una constante, y su derivada es cero.

  3. 3

    Calcula la derivada parcial primera de la función f(X,Y) respecto de Y.

    d(7X^4 + 4Y^2)/dY = 0 + 2 * 4Y^(2 - 1) = 8Y^1 = 8Y

    Observa ahora que el término “7X^4” es considerado como una constante, y su derivada es cero.

  4. 4

    Calcula la derivada parcial primera de la función f(X,Y) como la suma de las derivadas parciales de los pasos 2 y 3.

    f’(X,Y) = df(X,Y)/dX + df(X,Y)/dY

    En nuestro ejemplo, f’(X,Y) = 28X^3 + 8Y.

  5. 5

    Calcula la derivada parcial segunda de la función f(X,Y) respecto de X como la derivada parcial de la función del paso 4. Análogamente a lo realizado en el paso 2, deberás obtener:

    d(28X^3 + 8Y)/dX = 3 * 28X^(3 - 1) + 0 = 84X^2

  6. 6

    Calcula la derivada parcial segunda de la función f(X,Y) respecto de Y como la derivada parcial de la función del paso 4. Similarmente a lo hecho en el paso 3, obtendrás:

    d(28X^3 + 8Y)/dY = 0 + 1 * 8Y^(1 - 1) = 8Y^0 = 8

  7. 7

    Calcula el Laplaciano de la función f(X,Y) como la suma de las derivadas segundas parciales de los pasos 5 y 6:

    Laplaciano(7X^4 + 4Y^2) = 84X^2 + 8

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