Cómo calcular un número cardinal de conjuntos

Escrito por carlos mano | Traducido por georgina velázquez
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Cómo calcular un número cardinal de conjuntos
El infinito es más complicado de lo que parece. (Phil Ashley/Lifesize/Getty Images)

Nuestra comprensión moderna de la cardinalidad de conjunto vino de la obra de Georg Cantor en la década de 1890. Los conjuntos pueden tener tres cardinalidades: finitos, contables e incontables. Los conjuntos finitos pueden asignarse un número específico debido a su cardinalidad: el número de elementos en el conjunto. Ambos conjuntos contables e incontables son infinitos. Cantor fue el primer matemático en señalar que la característica de un conjunto infinito es que se puede poner en correspondencia uno-a-uno con un subconjunto propio de sí mismo.

Nivel de dificultad:
Moderadamente difícil

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Instrucciones

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    Da un número específico para la cardinalidad de un conjunto si es finito. Para conjuntos finitos, la cardinalidad es el número de elementos en ellos. Para los conjuntos infinitos, es imposible asignar un número específico para la cardinalidad, sólo podemos usar una palabra descriptiva. Un subconjunto propio de un conjunto es uno que contiene algunos -pero no todos- los miembros del conjunto, pero nada que no esté en él. Por ejemplo, un subconjunto de las letras en el alfabeto inglés son las letras de la palabra "banana". Para los conjuntos finitos, los subconjuntos propios son más pequeños que los conjuntos. Para los conjuntos infinitos, esto no es cierto.

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    Comienza en un elemento específico de la unidad y sigue contando siempre de una manera específica para enumerar todos los elementos de un conjunto. Esta es la definición de un sistema contable infinito. La característica clave es que no hay un algoritmo para enumerar todos los elementos y este algoritmo continúa para siempre. El conjunto infinito numerable es arquetípico de los enteros. Empieza a contar en "uno" y continúa con el siguiente número secuencial. No se puede dar un número para la cardinalidad, sólo se puede decir que continúa para siempre. Observa que para cada entero existe un número correspondiente par que es el doble de grande. Hay tantos números enteros, como números enteros pares. Hay una correspondencia de uno a uno entre el conjunto y un subconjunto propio del conjunto.

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    Compara un conjunto de los números entre cero y uno para ver si el conjunto es incontablemente infinito. No puedes empezar a contarlos, ya que no hay número "siguiente" después de un número entre cero y uno. Cantor dio un ejemplo para ayudar a entender intuitivamente los conjuntos no numerables: puntos y líneas. Los puntos no tienen longitud o anchura, pero una línea se compone de puntos. Si las líneas son una infinidad numerable de puntos, la longitud de la línea sería 0 + 0 + 0 y así para siempre. Las líneas deben tener un número incontable de puntos.

Consejos y advertencias

  • La prueba de Cantor para ver si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad es si los elementos del conjunto pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con los demás.
  • La aritmética sólo funciona para conjuntos finitos. Si N es numerable o incontablemente infinito, N + 1 = 200N = N + N = N.

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