Cómo calcular un plano a partir de vectores

Escrito por brian gallagher | Traducido por beatriz sánchez
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Cómo calcular un plano a partir de vectores
(arrow image by Soja Andrzej from Fotolia.com)

Los campos matemáticos de la geometría y el álgebra lineal suelen usar el concepto de vector. Los vectores, que son objetos que tienen tamaño y dirección, pueden tomarse en pares para definir un plano. Dos vectores de 3 dimensiones y un punto en el espacio definen un plano, según algunas reglas matemáticas relativamente sencillas.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

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    Cualquier plano puede ser definido sucintamente usando un solo punto y un vector, el vector normal del plano. Este vector es perpendicular a cualquier línea que pueda ser dibujada en la superficie del plano. Si te piden que determines la ecuación de un plano para el que te proporcionan el vector normal, puedes saltar al siguiente paso. Si te proporcionan dos o más vectores que están en un plano, puedes encontrar el cruzado de puntos de los dos para obtener el vector normal. Para los vectores û y ô tal que û=(a, b, c) y ô=(p, q, r), el cruzado de puntos û x ô será el vector ((br − cq), (cp − ar), (aq − bp)). Este vector es perpendicular a û y ô por definición, y también lo será el vector normal respecto del plano.

  2. 2

    Ahora que tienes el vector normal del plano, es hora de dar la definición del plano usando este número y uno de los puntos del plano. Es importante darse cuenta de que un plano en el espacio no puede ser definido por completo usando sólo un vector normal. Al menos se debe conocer un punto del plano para encontrar una fórmula precisa para el plano. La ecuación general para un plano es: n*(x–x0)=0, donde n=(f, g, h) es el vector normal, x0=(x0, y0, z0) es el vector que apunta a un punto conocido del plano y x=(x, y, z) es tu punto de variable. Cualquier punto del plano cuando se utiliza como x debe hacer que el lado izquierdo de la ecuación sea 0.

  3. 3

    Aunque lo anterior define de forma suficiente un plano, hay una forma distinta de la ecuación que suele ser la preferida para definir un plano. Esta forma se puede encontrar distribuyendo la multiplicación del vector normal n por la resta (x–x0) para obtener nx–nx0=0 y después multiplicar los componentes del vector. Esto nos da fx + gy + hz - (fx0 + gy0 + hz0) = 0. El término entre paréntesis se suele escribir como d, que se define como d=(fx0 + gy0 + hz0). Por tanto, la forma final y más útil de la ecuación para definir el plano es fx + gy + hz - d = 0.

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