Cómo calcular un triángulo 30-60-90

Escrito por paul dohrman | Traducido por juliana star
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Cómo calcular un triángulo 30-60-90
Dos triángulos 30-60-90 colocados lado a lado forman un triángulo equilátero. (triangle sépia phospho image by Unclesam from Fotolia.com)

Un triángulo con los ángulos de 30, 60 y 90 grados es por definición un triángulo rectángulo, debido a que uno de los ángulos es de 90 grados (un ángulo recto). Este tipo de triángulos son muy importantes en la enseñanza de la trigonometría, por lo que vale la pena conocer cuáles son las longitudes de los lados de uno de estos triángulos y cómo pueden obtenerse.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

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    Orienta el triángulo 30-60-90 de manera que el lado de longitud media esté colocado de forma horizontal en la parte inferior y el lado más corto esté a la derecha. En esa posición el ángulo de 30 grados está a la izquierda y el ángulo de 60 grados está en la parte superior. Denota la longitud de la hipotenusa con la letra H.

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    Determina la longitud del lado más corto dividiendo H entre 2. Determina la longitud del lado inferior multiplicando H por √3/2. De forma alternativa determina la longitud del lado inferior multiplicando el lado más corto por √3, que puede ser más sencillo de recordar que el número √3/2.

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    Determina H si tienes el valor de uno de los otros lados multiplicando el lado más corto por 2 o multiplicando el lado de longitud media por 2/√3. Desde luego, si conoces el valor de los dos lados puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado debido a que es un triángulo rectángulo.

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    Determina de dónde provienen los números anteriores de la siguiente forma. Coloca dos triángulos 30-60-90 del mismo tamaño lado a lado, con sus lados de longitud media tocándose a la mitad y sus lados más cortos formando una línea recta en la parte inferior. Toma en cuenta que estos dos triángulos ahora forman un triángulo con todos los ángulos de 60 grados, por lo que es equilátero. Debido a que todos los ángulos son iguales las longitudes también son iguales, por lo que los tres lados son de longitud H. Nota especialmente que el lado inferior es de longitud H. Dado que la parte inferior está compuesta por los dos lados más cortos, el lado más corto de un triángulo 30-60-90 es igual a H/2. Por el Teorema de Pitágoras, el lado medio debe ser de longitud H√3/2.

Consejos y advertencias

  • Los lados de un triángulo 30-60-90 con longitud 1 en su hipotenusa frecuentemente aparecen en los ejercicios de trigonometría. Si colocas el triángulo dentro de un círculo de una unidad de manera que el lado más corto se encuentre en el eje 'x' positivo y la hipotenusa de longitud 1 se extienda desde el origen hasta el círculo, el punto de intersección del círculo de una unidad tiene una coordenada de 1/2 en 'x' y √3/2 en 'y'. Estos son llamados el coseno y el seno de 30 grados. Si se gira el triángulo de manera que el lado de longitud media se encuentre en el eje 'x' positivo, entonces el punto de intersección del círculo tiene una coordenada 'x' de √3/2 y una coordenada 'y' de 1/2. Se puede decir que el coseno de 60 grados es 1/2 y el seno de 60 grados es √3/2.
  • Mediante un razonamiento similar, el seno y el coseno de 45 grados son √2/2 = 1/√2 debido a que un triángulo de grados 45-45-90 con una hipotenusa de 1 tienen lados de longitud 1/√2. Toma en cuenta que a medida que vas de 30 a 45 a 60 grados, el coseno disminuye de √3/2 a √2/2 a √1/2 (=1/2) y el seno incrementa de √1/2 a √2/2 a √3/2. Este patrón proporciona una regla mnemotécnica útil para los números discutidos en los Pasos 1 al 3.
  • No confundas el triángulo discutido anteriormente con el triángulo rectángulo 3-4-5, que tiene una relación simple de sus lados entre sí pero no tiene los mismos ángulos que el triángulo recto 30-60-90.

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