Cómo calcular el volumen de una tapa esférica utilizando el cálculo

El enfoque general de cálculo en el cálculo de los volúmenes de objetos con superficies curvas se basa en la teoría principal de la integración. En esencia, se corta el objeto tridimensional en rodajas más y más pequeñas, y se aproxima al volumen de cada una de esas porciones utilizando una forma más simple. Para encontrar el volumen de una tapa esférica, la formulación más sencilla es imaginar una pila de cilindros anchos y cortos unos encima de los otros. El volumen se calcula como la altura de cada uno de estos cilindros hasta cero, generando aproximaciones más exactas.

Escribiendo la integral

Determina el diámetro o el radio de tu tapa esférica en su parte más ancha.

Determina la altura de la tapa esférica.

Haz la raíz cuadrada de los números de los Pasos 1 y 2, y súmalos. Divide este número entre el doble del número del Paso 2. Esto te da R, el radio de la esfera del que se cortó la tapa esférica.

Escribe "V = ", seguido por el símbolo de integración.

Resta el número que calculaste en el Paso 2 de R, y escribe este número en la parte inferior del símbolo de integración.

Escribe el valor de R en la parte superior del símbolo de integración.

Escribe pi, seguido por un paréntesis, después del símbolo de integración.

Haz la raíz cuadrada del valor de R, y escríbelo después del paréntesis, seguido del signo menos.

Escribe "x^2", seguido de los paréntesis de cierre. Acaba de escribir la integral con "dx".

Evaluando la integral

Multiplica pi en los paréntesis, resultando pi*x^2 restado de una constante.

Evalúa el primer término de la integral al multiplicar la constante por la altura de la tapa esférica (en realidad, R - a, los dos extremos de la integral), y moviéndolo fuera de la integral. La ecuación ahora debe ser en la forma "V = C (R - a) - [integral definida de a hasta R] pi * x^2 dx", donde C es la raíz cuadrada de R veces pi, y R es la altura de la tapa esférica.

La integral restante evalúa a 1/3_pi_(R^3), 1/3_pi_(a^3). Así, la fórmula general para el volumen de una tapa esférica es V = C(R - a), 1/3_pi_(R^3) + 1/3_pi_(a^3), donde C y a son como se describe en el Paso 2, y R es como se describe en el Paso 3 de la sección anterior.

Sustituir R menos la altura de la tapa esférica ("h") para a, evaluar los cubos, y simplificar da como resultado V = 1/3_pi_h^2*(3R -- h), la fórmula estándar algebraica para el volumen de una tapa esférica.