Cómo calcular volúmenes de sólidos de revolución

Escrito por mike gamble | Traducido por juliana star
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Cómo calcular volúmenes de sólidos de revolución
La fórmula para el volumen de una esfera tiene como base al cálculo. (Ryan McVay/Lifesize/Getty Images)

Muchas de las figuras encontradas en geometría son sólidos de revolución, como las esferas, conos y cilindros. Las fórmulas usadas para calcular sus volúmenes tienen como base al cálculo. Por ejemplo, imagina una función de semicírculo rotando alrededor del eje x. Integra el cuadrado de esa función, multiplícala por pi y habrás derivado la fórmula para el volumen de una esfera. Sin embargo el cálculo ofrece una flexibilidad mucho mayor para calcular sólidos de revolución además de únicamente esferas. Con él puedes derivar el volumen de cualquier figura cuyo perfil sea una función.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

  1. 1

    Calcula el cuadrado de la función perfil que trace el sólido de revolución. El método general para calcular el volumen de un sólido de revolución es integrar pi * (f(x))^2. Pi es una constante, por lo que debes moverla hacia afuera de la integral y elevar al cuadrado la función perfil. Por ejemplo, dada la función f(x) = x^2/9 + 1, (f(x))^2 = x^4/81 + 2x^2/9 + 1.

  2. 2

    Calcula la antiderivada de la función elevada al cuadrado. Por ejemplo, g(x) = la antiderivada de (f(x))^2 = x^5/405 + 2x^3/27 + x + K, en donde K es alguna constante. El valor de K no es importante, ya que se elimina en el siguiente paso.

  3. 3

    Evalúa la integral dentro de los límites definidos. Por ejemplo, dados los límites [0, 3], calcula la diferencia g(3) - g(0). Sustituye esos valores en la función, g(3) = 3/5 + 2 + 3 + K = 28/5 + K, y g(0) = K. Por lo tanto, g(3) - g(0) = 28/5.

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    Calcula el volumen multiplicando la integral evaluada por pi. El volumen del sólido dado en el ejemplo sería 28 * pi/5, que es 17,6.

Consejos y advertencias

  • Si el sólido tiene un área vacía, definida por una segunda función h(x), calcula el volumen integrando pi * [(f(x))^2 - (h(x))^2], dado que f(x) > h(x) para todos los valores de x en la región limitada.

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