Cuadráticas en el mundo real

Escrito por steven colbath | Traducido por juan manuel rodriguez
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Cuadráticas en el mundo real
Las dimensiones óptimas para contenedores pueden ser encontradas utilizando las ecuaciones cuadráticas. (Jupiterimages/BananaStock/Getty Images)

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en las clases de álgebra en todo el mundo. La mayoría de las personas que las han estudiado pueden recordar que son polinomios de segundo orden. Estos se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática bien conocida. Pero, ¿qué propósito sirven estas ecuaciones en el mundo real?. Como resultado, las cuadráticas se utilizan muy a menudo en el diseño industrial, aeronáutica, estudios de ingeniería y movimiento.

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Búsqueda del tamaño de un contenedor rectangular

Si un fabricante de jugo, como parte de la promoción, quiere hacer un recipiente rectangular con un volumen de 20% más que el recipiente original, ¿cómo se calcula la nueva dimensión? La solución se puede fijar como una fórmula cuadrática.

El contenedor original tiene 2,0 litros y tiene una sección rectangular de 8,0 por 10,0 centímetros y una altura de 25 centímetros. Con el fin de encajar en los estantes, la altura debe seguir siendo la misma, por lo que cambia la longitud y el ancho por una cantidad x. La ecuación para el volumen es longitud * ancho * altura, y el nuevo volumen es de 2,0 * 1,20 = 2,40 litros o 2.400 centímetros cúbicos. Así, la ecuación es:

25(8 + x) (10 + x) = 2400

25(80 + 18x + x^2) = 2400; divide ambos lados por 25,

80 + 18x + x^2 = 96; resta 96 de ambos lados y reorganiza,

x^2 + 18x - 16 = 0; la fórmula cuadrática encontrada, hay una solución válida para x = 0,85 centímetros

Búsqueda del tamaño de un contenedor cilíndrico

Si un fabricante quiere reducir el tamaño de su recipiente cilíndrico de avena por 10%, manteniendo la misma altura, ¿cómo se calcularía el nuevo tamaño? Asume que el recipiente viejo tiene 1,5 litros, y tiene una altura de 22,0 centímetros y un diámetro de 9,32 centímetros. Calcula el nuevo diámetro con la fórmula del volumen pi/4 * d^2 * h = V.

pi/4 * (9.32 - x)^2 * 22.0 = 0.9 * 1500

17.28 (86.86 - 18.64x + x^2) = 1350

x^2 - 18.64x + 86.86 = 78.13

x^2 - 18.64x + 8.73 = 0, fórmula cuadrática encontrada, resuelta en x = 0,48 cm.

Cálculo del área de un inmueble

Un terrateniente es dueño de una parcela de tierra que tiene la forma de un trapecio. El lado sur, limitado por una carretera, tiene un ancho de 150 pies (45 metros). Los lados Este y Oeste son perpendiculares a la carretera y tienen una longitud de 320 pies (96 metros) en el lado Oeste y 350 pies (105 metros) en el lado Este. Un vecino se ofrece a comprar al propietario de la tierra una franja en el lado Oeste para que pueda ampliar su propiedad. ¿Qué ancho de franja de tierra puede el terrateniente vender y todavía tener un tamaño de lote mínimo de 40.000 pies cuadrados?

El área de un trapecio es A = W * (L1 + L2)/2, donde W es el ancho y L1 y L2 son las longitudes de los lados largos y cortos. La propiedad tiene una superficie actual de A1:

150 * (320 + 350) / 2 = 50.250 p.c.

Así que puedes reducir la propiedad por 50.250 - 40.000 = 10.250 p.c.

El nuevo ancho será de 150 - x. La nueva profundidad de la zona Oeste será L2 = 350 - y. Puedes definir y observando la pendiente del triángulo donde la altura es de 350 - 320 = 30 pies (9 metros) y el ancho es de 150 pies (45 metros). Luego, la altura varía de acuerdo a x con la proporción y = x (30/150). La longitud entera de la nueva línea de la propiedad Oeste es entonces L2 = 350 - x(30/150). Se calculará un área trapezoidal de modo que el ancho = x, la longitud de un lado sea L1 = 350 pies (105 metros) (la antigua línea de la propiedad del Oeste), y la longitud del otro lado sea L2 (la nueva línea de la propiedad del Oeste).

Coloca los valores conocidos en la ecuación para el área de W(L1+L2)/2:

x[350 + 350 - x(30/150)] / 2 = 10.250; se simplifica a:

-x^2/5 + 700x - 20,500 = 0

x^2 - 3500x + 102500 = 0

Esta cuadrática tiene una solución válida en x = 29,53 pies (885,9 cm), que es el ancho de las tierras del terrateniente que puede vender y todavía tener 40.000 pies cuadrados restantes.

Cuadráticas en el mundo real
Muchos cálculos de área y volumen en ingeniería requieren cuadráticas. (Digital Vision./Photodisc/Getty Images)

Cálculo de la elevación de las carreteras en las curvas verticales

Como los caminos pasan por colinas y valles, la elevación de la carretera se calcula utilizando una fórmula parabólica. Utilizar una curva parabólica facilita las transiciones de un grado a otro. La fórmula parabólica es una cuadrática.

La elevación de un punto en el parabólico está dada por la fórmula:

y = y0 + g1*x + (g1+g2) * x^2 / 2L ,

donde y0 es la elevación en el inicio de la curva (conocido como el punto de curvatura vertical. PCV), g1 es el grado de la carretera que se extiende a la curva y g2 es el grado de la carretera que sale de la curva. La distancia x se mide desde el punto de curvatura vertical PCV. La variable L es la longitud de la curva, que se mide desde el PCV a la FCV, el final de la curva vertical.

Cuanto mayor sea la longitud L, más suave será la curva. La fórmula se puede utilizar para encontrar el espacio libre requerido debajo de los puentes y el relleno requerido sobre alcantarillas en el fondo de un valle.

Si un inspector está vigilando una carretera a través de un valle de modo que se pueda llevar relleno, utilizaría esta fórmula para determinar la elevación. Por ejemplo, g1 = -0,02 (grado hacia abajo) y g2 = 0,03 (grado hacia arriba), y L = 300 pies (90 metros), y la elevación y0 en el PCV es 102,5. La elevación en un punto y, a 50 pies (15 metros) de PCV sería:

y = 102,5 + (-0,02 * 50) + (-0,02 + 0,03) * 50^2 / (2*300)

y = 102,5 - 1,0 + (25/600) = 101,54 pies (3.046,2 cm).

Ten en cuenta que la elevación sin la curva vertical sería:

102,5 - 0,02*50 = 101,50 pies (30,45 metros).

Más alejado del PCV, la diferencia en el grado llega a ser aún mayor, hasta llegar a la L/2. Entonces, el grado se aproxima a la elevación de g2, cumpliendo con el grado de g2 en el FCV.

Cuadráticas en el mundo real
Los topógrafos utilizan las funciones cuadráticas para diseñar carreteras. (Digital Vision./Photodisc/Getty Images)

Otros problemas cuadráticos

Hay muchos otros problemas cuadráticos. Algunos de los más comúnmente enseñados en Algebra son problemas que afectan a la balística y los problemas de tiempo y movimiento. Las soluciones cuadráticas son comunes en el estudio de la hidráulica y movimiento fluido. Observa los recursos para otros problemas resueltos con ecuaciones cuadráticas.

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Las cuadráticas se pueden utilizar para predecir la trayectoria de balas de cañón. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

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