Definición de gradiente, rotor y divergencia

Escrito por j.t. barett | Traducido por mike tazenda
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Definición de gradiente, rotor y divergencia
El cálculo vectorial ayuda a los científicos a estudiar cómo las cosas se mueven y fluyen. (Comstock/Comstock/Getty Images)

Los físicos usan técnicas matemáticas llamadas cálculo vectorial para analizar cómo las cosas se mueven y fluyen en tres dimensiones, incluyendo el agua, el aire y la electricidad. Aunque la habilidad de manipular estas ecuaciones puede requerir de varios años de cursos de matemática universitaria, puedes comprender muchos de los conceptos generales con algo de pensamiento y sentido común. Tres propiedades, llamadas divergencia, gradiente y rotor, cuantifican distintos aspectos de los cambios tridimensionales.

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Operador delta

Una función del cálculo llamada el operador delta es fundamental para determinar el gradiente, la divergencia y el rotor. Éste halla el cambio en el flujo o en cualquier punto del espacio sobre las coordenadas x, y y z, que definen las tres dimensiones que nos son familiares. Aplicar este operador sobre un solo punto involucra docenas de pasos matemáticos. Trabajar sobre grandes grupos de datos puede ser una tarea enorme, aunque las computadoras pueden hacer esto de manera rápida, logrando innovaciones como la predicción adecuada del clima. Los matemáticos dibujan este símbolo con un triángulo equilátero apuntando hacia abajo.

Gradiente

Las magnitudes como el peso y la temperatura consisten en un número, como 15 grados o 1.000 kilogramos. Los científicos llaman a estas magnitudes escalares. Las medidas como la velocidad y la fuerza, por otra parte, son vectores, y tienen dos datos: una magnitud y una dirección. Por ejemplo, el reporte del clima dice que el viento sopla del este a siete kilómetros por hora. Los científicos indican a los vectores con flechas, ya que las flechas tienen una longitud (que indica la magnitud o intensidad de la medida) y apuntan en una dirección específica. El gradiente es un vector que resulta de una operación delta en una superficie. Si la superficie es plana, el gradiente es cero, su forma no cambia. Si la superficie tiene una colina, el gradiente apunta hacia arriba. Cuando la superficie tiene depresiones y valles, el gradiente apunta hacia abajo. Cuanto más grande sean las elevaciones o depresiones, mayor será la magnitud del gradiente.

Divergencia

A diferencia del gradiente, que es un vector, la divergencia es un número. Ésta responde a preguntas como "¿Hay algo fluyendo hacia o desde este punto?" y "¿En qué medida?". Al usar la divergencia para analizar una bañera con el grifo abierto y sin tapón, la mayoría de los puntos en ese espacio tendrán una divergencia de cero. El agua nunca entra o sale. Sin embargo, si observas el área bajo el grifo, la divergencia se vuelve grande. Toda el agua ingresa en la bañera a través de ese punto. Al examinar el sumidero, la divergencia será negativa y también tomará un valor grande, ya que toda el agua sale de la bañera a través de ese lugar.

Rotor

El rotor es otra forma de analizar flujos, y también proviene del operador delta. Como el gradiente, el rotor es un vector. Volviendo al ejemplo de la bañera cuando se drena, observamos que el agua forma un pequeño vórtice o cono en forma de tornado que sale por el sumidero. El rotor del flujo es la intensidad y dirección de ese vórtice. Si gira en dirección horaria, el rotor apunta hacia abajo, de lo contrario, éste apunta hacia arriba. Si observas otros puntos en la bañera, el rotor es cero, ya que el agua solo forma un espiral en el sumidero.

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