Cómo demostrar el volumen de un cono mediante la integración

Escrito por elio lewis | Traducido por enrique pereira vivas
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Cómo demostrar el volumen de un cono mediante la integración
También puedes encontrar el volumen de un cono o cono truncado, con este método. (Hemera Technologies/PhotoObjects.net/Getty Images)

En la asignatura de cálculo, por lo general, en el segundo semestre, es posible que aprendas acerca de cómo encontrar el volumen de sólidos de rotación mediante la integración. Encontrar el volumen de sólidos por la integración puede ser un momento muy satisfactorio en tus estudios de matemáticas, ya que este es el momento en que finalmente descubres de dónde vienen las fórmulas para el volumen. En el pasado, puede que hayas memorizado que el volumen de un cono es igual a pir^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura del cono. Ahora que sabes cómo integrar funciones, puedes probar que esto es cierto con el cálculo.

Nivel de dificultad:
Difícil

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Instrucciones

  1. 1

    Dibuja la recta y = (r/h)*x, en el plano x-y, donde r y h son constantes arbitrarias que representan el radio y la altura del cono. Dibuja el resultado al tomar el segmento de línea desde x = 0 a x = h y gira esa línea 360 grados alrededor del eje x, que es un cono.

  2. 2

    Dibuja líneas verticales a través del cono para indicar que el cono se corta en muchos discos. Anota la zona de una versión fina infinitesimal de uno de estos discos, lo cual sería un círculo. Debes obtener Área = pi*R^2, donde R es el radio de ese círculo o disco en particular.

  3. 3

    Escribe una integral que represente esta situación. Tienes que ir en una dirección x para acumular todos tus cortes verticales en forma de cono, así que escribe la integración respecto de x. La integración comienza en 0 y termina en h, así que pon estos como tus criterios de valoración. El área de cada sector es pi*R^2, así que coloca esto como tu función. Pon todo esto junto y obtén:

    S(0,h) pi*R^2 dx

    donde S(0,h) representa el símbolo integral con extremos en 0 y h.

  4. 4

    Cambia R en función de x para que puedas integrar con respecto a x. Dado que R es siempre lo mismo que y, que es igual a (r/h)x, sustituye (r/h)x por R. Debes tener ahora:

    S(0,h) pi((r/h)x)^2 dx

  5. 5

    Integra S(0,h) pi((r/h)x)^2 dx. Eleva al cuadrado la función en el interior para obtener S(0,h) pi(r^2/h^2)x^2 dx. Usando la regla de la potencia, cambia x^2 a (1/3)x^3, a continuación, escribe todas las constantes en el frente. Obtienes (1/3)pi(r^2/h^2)x^3 evaluada desde 0 a h, que es (1/3)pi(r^2h^3/h^2) - 0. Simplifica la expresión y tendrás (1/3)pir^2h, que es la misma que la fórmula para el volumen de un cono.

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