Cómo descomponer una fracción parcial

Escrito por luc braybury | Traducido por lucrecia garcía
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Cómo descomponer una fracción parcial
Descompone fracciones parciales. (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

La descomposición en fracciones parciales es un método algebraico utilizado para realizar una función racional compleja (una fracción) en una más simple. El método se utiliza con frecuencia en el cálculo para simplificar el integrando de un integral, lo que conduce a una integración más sencilla. El objetivo es simplificar la función racional y convertir la forma compleja en la suma de dos o más funciones racionales más simples. La descomposición en fracciones parciales puede ser considerada como la operación inversa de la suma de fracciones..

Nivel de dificultad:
Moderadamente fácil

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Instrucciones

  1. 1

    Factoriza el denominador de la función racional. Por ejemplo, considera la función racional (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x). Al factorizar el denominador (2x^3 + 3x^2 - 2x) se convierte en x(2x^2 + 3x - 2), ya que x es el máximo común divisor. Factoriza de nuevo, x(2x^2 + 3x - 2) se convierte en x(2x - 1)(x + 2).

  2. 2

    Separa cada factor del denominador factor, toma su recíproco y agrégalo. Por ejemplo, el denominador x(2x - 1)(x + 2) tiene tres factores distintos: x, 2x - 1 and x + 2. Usando letras consecutivas como numeradores de cada factor, la descomposición en fracciones parciales es: (x^2 + 2x - 1) / x(2x - 1)(x + 2) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)).

  3. 3

    Determina los valores de los numeradores de las fracciones parciales. Por ejemplo, multiplicando ambos lados de la ecuación (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)) por el denominador factorizado obtienes: (x^2 + 2x - 1) = (A(2x - 1)(x + 2)) + (Bx(x + 2)) + Cx(2x - 1). Expandiendo el lado derecho, la ecuación se convierte en: (x^2 + 2x - 1) = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A.

  4. 4

    Establece las ecuaciones a resolver para los coeficientes en el lado derecho de la ecuación. Por ejemplo, la solución para los coeficientes A, B y C en la ecuación (x^2 + 2x - 1) = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A encuentra que:(2A + B + 2C) = 1, ya que el coeficiente de x ^ 2 en el lado de la izquierda es 1; (3A + 2B - C) = 2, ya que el coeficiente de x en el lado izquierdo es 2; -2A = -1, ya que la constante en el lado de la izquierda es -1.

  5. 5

    Resuelve para los coeficientes. Por ejemplo, ya que -2A = -1, A = (1/2). Dado que A = (1 / 2), 3(1 / 2) + 2B - C = 2 ---> 2B - C = (1 / 2) y 2(1 / 2) + B + 2C = 1 ---> B + 2C = 0. Continuando para resolver encuentras B = (1/5) y C = (- 1/10).

  6. 6

    Escribe la fracción descompuesta utilizando los coeficientes recién determinados. Por ejemplo, (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x) = (1 / 2)(1 / x) + (1 / 5)(1 / 2x - 1) - (1 / 10)(1 / x + 2).

Consejos y advertencias

  • Una función racional impropia requiere el uso de la división sintética de polinomios para escribir fracciones en forma parcial. Si un factor tiene un producto que se repite, como los de la forma (ax + b) ^ n, donde "n" es cualquier número entero positivo, la descomposición en fracciones parciales se convierte en: (A(1) / (ax + b)) + (A(2) / (ax + b)^2) +...+(A(n) / (ax + b)^n).

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