Cómo determinar si una matriz es unitaria

Escrito por thomas bourdin | Traducido por elizabeth garay ruiz
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Cómo determinar si una matriz es unitaria
Las matrices unitarias encuentran muchas aplicaciiones en la mecánica cuántica, i.e., el estudio de muchas partículas pequeñas. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Una matriz unitaria satisface ciertas condiciones algebraicas. Específicamente, es una matriz que al ser multiplicada por su matriz Hermitian (transposición conjugada) resulta en la matriz de identidad. Esto también implica que la transposición conjugada de una matriz unitaria es el equivalente del inverso de la matriz unitaria. Estas matrices tienen muchas aplicaciones en la ciencia, incluyendo el uso de mecánica cuántica. Puedes determinar si una matriz específica es unitaria utilizando las técnicas de álgebra lineal.

Nivel de dificultad:
Moderadamente difícil

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Instrucciones

  1. 1

    Determina la conjugación compleja de la matriz (esto es, cambia el signo del componente complejo del número). Por ejemplo, si la matriz dada es:

    (1/2) | 1 (1 + i) | | 1 - i) 1 |,

    la compleja conjugada es:

    (1/2) | 1 (1 - i) | | (1 + i) 1 |.

    Llama a esta nueva matriz “A”.

  2. 2

    Encuentra la transposición de la matriz A (i.e. reescribe los renglones de A como las columnas de la nueva matriz). Escribe las líneas de la matriz como:

    (1/2) | 1 (1 - i) | | (1 + i) 1 |,

    porque las columnas de una nueva matriz, que se llamará B, son:

    (1/2) | (1 + i) 1 | | 1 (1 - i) |.

  3. 3

    Multiplica la matriz original por la nueva matriz B. Esto te da:

    (1/2) | 1 (1 + i) | X (1/2) | (1 + i) 1 | | (1 - i) 1 | | 1 (1 - i) |.

    Multiplicando cada componente junto, te da la nueva matriz:

    (1/4) | 2(1 + i) 2 | | 2 2(1 - i) |.

  4. 4

    Determina si la nueva matriz es la matriz de identidad. Esta matriz tiene la forma de:

    | 1 0 | | 0 1 |,

    y la matriz calculada en nuestro ejemplo es:

    | (1/2)(1 + i) 1/2 | | 1/2 (1/2)(1 - i) |.

    Por lo tanto, la matriz original no es una matriz unitaria.

Consejos y advertencias

  • Al multiplicar la matriz original por la nueva matriz B, la multiplicación no conmuta (esto es, el orden de la multiplicación cambiará el resultado). Por lo tanto, asegúrate de que la matriz original está localizada antes de la nueva matriz.

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