Cómo diferenciar una función en el cálculo

Escrito por damien thryn | Traducido por alejandro schaller
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Cómo diferenciar una función en el cálculo
Las derivadas dan la velocidad de variación de una función. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

La diferenciación de funciones en cálculo es el proceso de hallar una nueva función que representa el ritmo al cual los valores de “y” están cambiando para valores dados de “x” a lo largo de cada uno de los puntos de la curva original. Existen varias reglas importantes que seguir cuando diferencias funciones, entre ellas la regla de la potencia, del cociente y de la cadena. La derivada general de una función polinómica básica de la forma “x” a la potencia de “n” (x^n) es simplemente el exponente “n” llevado en frente del valor “x” como un coeficiente y “n-1” tomando el lugar del exponente (nx^(n-1)). Las derivadas son muy utilizadas en cálculo y física; puedes aplicar reglas de diferenciación a vectores y funciones trigonométricas.

Nivel de dificultad:
Moderadamente fácil

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Instrucciones

  1. 1

    Escribe la función completa a ser diferenciada en una hoja de papel. Deja suficiente lugar entre los términos de la función y debajo de la ecuación de manera que tengas espacio para trabajar. Es útil escribir cada paso a medida que lo realizas.

  2. 2

    Examina la función buscando términos que puedan ser fácilmente diferenciados utilizando la regla del producto. Cada término en una función puede ser diferenciado separadamente, siempre y cuando no sea parte de una composición de funciones. Los términos independientes que son de la forma “ax^n”, donde “a” es un coeficiente numérico y “n” es una potencia, pueden ser rápidamente diferenciados utilizando la regla de la potencia y deben ser diferenciados primero. La derivada seguirá la forma de “n” veces la constante “a” multiplicado por “x”, todo a la potencia de uno menos que la original “n”.

  3. 3

    Utiliza la regla del cociente para diferenciar cualquier término donde existe una variable en el denominador. Por ejemplo, una función de la forma (x + 1)/(x - 1) debe ser diferenciada utilizando la regla del cociente, que sigue la forma general de ((f' * g) - (f * g'))/(g^2) donde “f” es el numerador, “f ' ” es la derivada del numerador, “g” es el denominador y “g' ” es la derivada del denominador. Las derivadas “f ' ” y “g ' ” se hallan utilizando la regla de la potencia.

  4. 4

    Aplica la regla de la cadena para diferenciar funciones que son compuestas. Estas son funciones donde existe una variable tanto en el interior como en el exterior de un juego particular de paréntesis, lo que significa que hay de hecho múltiples subfunciones que están siendo diferenciadas. Por ejemplo, en la expresión “seno (x^2)”, existen dos funciones: “x al cuadrado” y “seno de x”. La regla de la cadena especifica que, para estas funciones, la derivada de la función compuesta es (f' * g) + (f * g') donde “f” es la función interior, “f ' ” es la derivada de la función interior, “g” es la función exterior y “g ' ” es la derivada de la función exterior.

  5. 5

    Halla cualquier caso especial de derivadas que estén presentes en la función y diferéncialas utilizando la regla de diferenciación particular que se aplica. Por ejemplo, la derivada de cualquier constante es simplemente 0. La derivada de la exponencial “e^x” es simplemente “e^x”. La derivada del logaritmo natural de “x” es “1/x”. Cada operación en un cálculo está acompañada por una regla de diferenciación.

Consejos y advertencias

  • Cada derivada de un término independiente queda sola dentro de la función, de modo que luego de que esté completa la diferenciación para cada término en una función, puedes simplemente combinar los términos derivativos en una nueva ecuación, la cual es la ecuación general de la derivada de la función original. Puedes habitualmente utilizar técnicas algebraicas para simplificar aún más la función si lo deseas.
  • Hallar la derivada puede ser extremadamente valioso. En física, la derivada de una función de posición provee la función velocidad que describe el movimiento de un objeto. La derivada de esta función velocidad provee la función aceleración del objeto.
  • Algunas reglas, como la regla de la cadena, requerirán la aplicación de otras reglas de diferenciación para completar el camino de derivación presente en la regla de la cadena. Recuerda derivar completamente cada componente de una función compuesta cuando sigas la regla de la cadena.

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