Qué es la divergencia de un vector escalar

Escrito por daniel r. robichaud | Traducido por enrique pereira vivas
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Qué es la divergencia de un vector escalar
La divergencia de los campos de vectores puede ser un concepto difícil. (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

El cálculo vectorial ocupa un lugar importante en la ingeniería y la física debido a tres operadores particulares: gradiente, divergencia y rizo. El operador de divergencia mide la fuente de un campo vectorial o la magnitud de hundimiento en un punto dado. Aunque los campos vectoriales se unen los valores numéricos de los indicadores de dirección, la divergencia es un resultado escalar. Es una medida cuantitativa para el flujo dirigido hacia el exterior en un campo vectorial que emana de una fuente. Los cálculos de la divergencia puede llegar a ser conceptualmente difíciles, pero no son imposibles de dominar.

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Entender las matemáticas

Para entender la manifestación matemática de la divergencia, primero considera una función vectorial diferenciable v (x, y, z), donde x, y y z son las coordenadas cartesianas. Además, permite que v1, v2 y v3 sean los componentes de v. La divergencia de un campo vectorial es el producto escalar entre el operador de divergencia y la función de campo vectorial. Por tanto, la fórmula para la divergencia del campo de vector v se puede definir como:

div v = (∂v1/∂x) + (∂v2/∂y) + (∂v3/∂z)

La divergencia puede ser entendida como la derivada parcial de cada componente con respecto a su plano de coordenadas cartesianas. Los productos de puntos producen soluciones escalares. Por consiguiente, el operador de divergencia produce una solución escalar de un campo de vector, lo que sugiere que div v sea una indicación de magnitud sin dirección.

Una de las principales hipótesis

El concepto básico subyacente de la divergencia hace una suposición grande, que en una función con caracterización de una propiedad física o geométrica, los valores son independientes de la elección particular de las coordenadas. De hecho, este es el caso. Se supone que el flujo exterior se aleja de la fuente con relativa uniformidad. La divergencia puede ser entendida como una tasa cualitativa para este flujo.

Invariancia de la divergencia

Los valores de div v dependen de los puntos en el espacio y la función matemática asociada. Los valores son invariantes con respecto a la transformación de coordenadas. La selección de una opción diferente para las coordenadas cartesianas x, y y z y los componentes correspondientes v1, v2 y v3 para la función v dará lugar a la misma ecuación. Esta invariancia de la divergencia sigue siendo un teorema fundamental asociado con este operador particular.

Con respecto a cualquier otra coordenada en el campo del vector y sus componentes correspondientes de la función, el cálculo de la divergencia sigue siendo el mismo: La divergencia es el producto escalar entre el operador y el campo de vector, o la derivada parcial de cada componente con respecto a su coordenada cartesiana en el plano.

Llevado al siguiente nivel

La divergencia juega un papel importante en el cálculo avanzado. La operación subyace una de los "grandes" teoremas integrales, que pueden ser utilizados para transformar cálculos increíblemente complejos en problemas más razonables. Este procedimiento se conoce como el teorema de la divergencia de Gauss.

Imagina una región cerrada delimitada en el espacio, llamada T, con una superficie S regular a trozos para su límite. Supón que n es el vector normal a la unidad exterior de la superficie S. Sea la función vectorial F(x, y, z) continua y tiene las primeras derivadas parciales continuas en un dominio que contiene a T. El teorema de la divergencia de Gauss indica que la integral triple de la divergencia de F con respecto a un volumen se puede equiparar a la integral doble del producto escalar entre F y n sobre un área. Por lo tanto, las integrales de volumen complejas se pueden transformar en las integrales de superficie más manejables a través de una comprensión y la extrapolación de la divergencia de un campo vectorial.

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