Cómo encontrar el centro de masa de una parábola

Escrito por elio lewis | Traducido por enrique pereira vivas
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Cómo encontrar el centro de masa de una parábola
El concepto de centro de masa de una sección parabólica es similar a la del foco de una parábola, pero no idéntico. (Comstock/Comstock/Getty Images)

Encontrar el centro de masa de una parábola es una manera corta de decir encontrar el centro de masa de una sección parabólica de un objeto con densidad uniforme. Por conveniencia, esta sección parabólica se coloca generalmente en un plano xy de manera que su eje de simetría está en el eje y, y su vértice yace en el origen. Debido a la simetría, ya sabes que la coordenada x será 0; necesitas encontrar la coordenada y. Encontrarás el centro de la masa en la dirección y con la fórmula ycm = (1 / M) S y dm, donde ycm es la coordenada y del centro de masa, M es la masa total del objeto y S representa el signo integral y dm es la derivada con respecto a la masa. Debes saber cómo integrar para resolver estos problemas.

Nivel de dificultad:
Difícil

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Instrucciones

  1. 1

    Escribe la función y = kx^2 para describir la parábola. Encuentra k mediante el uso de la información sobre la altura y el radio de la sección parabólica. Vuelve a escribir a la función con este nuevo valor sustituido por k.

    Ejemplo: Encuentra el centro de masa de un corte de taza uniforme en una sección parabólica. La altura del recipiente es de 0,1 m y su radio es de 0,1 m. (0,1, 0,1) es un punto en el recipiente. Conecta 0,1 para x y 0,1 para y para resolver para k. 0,1 = k(0,1)^2 0,1 = k*0,01 k = 10 y = 10x^2

  2. 2

    Cambia y(x) a x(y) por la reordenación de la ecuación hasta que x esté por sí sola en el lado izquierdo. Esto se debe a que estás integrando sobre y, en sentido vertical, por lo que necesitas saber las dimensiones horizontales de cada sector en función de x. Este es el mismo que dA, la derivada con respecto al área.

    Ejemplo: y = 10x^2 0,1y = x^2 x = + and -sqrt(0,1y) Debido a que la ecuación se divide en dos partes iguales, reescríbela como: x = 2sqrt(0,1y) dA = 2sqrt(0,1y) dy

  3. 3

    Configura la integral de la coordenada y. Debido a que tomaste rebanadas de área con una densidad uniforme, el dm puede reescribirse como DdA, donde D es la densidad, y dA = 2sqrt(0,1y) dy.

    Ejemplo: ycm = (1 / M) S y dm ycm = (1 / M) 2D*S y * sqrt(0,1y) dy Los límites de integración son 0 y 0,1 (la altura de la sección).

  4. 4

    Vuelve a escribir M, la masa, como una integral, usando la misma información que para la integral anterior, pero dejando fuera el *y adicional.

    Ejemplo: M = 2D*S sqrt(0,1y) dy Los límites de integración son 0 y 0,1 (la altura de la sección).

  5. 5

    Escribe una razón de las dos integrales para tener en cuenta la 1 / M. Resuelve mediante la integración.

    Ejemplo: ycm = 2DS y * sqrt(0,1y) dy / 2DS sqrt(0,1y) dy sqrt (0,1) es una constante y puede ser llevada fuera de la integral, por lo que anula, al igual que el 2 y el D. y * sqrt(y) = y^1 * y^0,5 = y^1,5 ycm = S y^1,5 dy / S y^0,5 dy ycm = 0,4y^2,5 / (2/3)y^1,5 = 0,6y Evaluar de 0 a 0,1: YCM = 0,06 - 0 = 0,06

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