Cómo encontrar el radio de una curvatura

Escrito por allan robinson | Traducido por ehow contributor

La curvatura de una función es el círculo que mejor se ajusta (es decir, que oscula) a dicha función en alguno de sus puntos. Por lo tanto, el radio de la curvatura es el radio del círculo osculador en un punto específico. Una aplicación común del radio de una curvatura puede ser describir la manera en la que una viga se dobla cuando se somete a una carga. El radio de una curvatura puede calcularse mediante la primera y la segunda derivada de la función.

Nivel de dificultad:
Fácil

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Instrucciones

  1. 1

    Examina un ejemplo del mundo real relacionado con el radio de una curvatura. Imagina que estás conduciendo a través de un camino curvo, forzándote a tomar en volante en una posición determinada. Si en el punto A del camino mantuvieras el volante en una posición fija, el automóvil viajaría en círculo. Dicho círculo es la curvatura de la función en el punto A, y su radio es el radio de la curvatura.

  2. 2

    Deriva la ecuación del radio de una curvatura para una función f(x). Esta ecuación debe derivarse con cálculo diferencial y está dada por p(x) = (1 + f''''(x)^2)^(3/2)/f''''''''(x), donde x es la coordenada x de un punto en la curva, f''''(x) es la primera derivada de f(x) y f''''''''(x) es la segunda derivada de f(x).

  3. 3

    Determina las restricciones para f(x). Debe ser diferenciable, y su derivada también debe ser diferenciable. Debido a que el denominador es f''''''''(x), esta función también debe ser diferente de cero.

  4. 4

    Calcula el radio de la curvatura para una función específica. Si f(x) = x^2, entonces f''''(x) = 2x y f''''''''(x) = 2. Por lo tanto, p(x) = (1 + f''''(x)^2)^(3/2)/f''''''''(x) = (1 + (2x)^2)^(3/2)/2 = (1 + 4x^2)^(3/2)/2. Por lo tanto, el radio de la curvatura para la curva y = x^2 está dado por p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2.

  5. 5

    Interpreta la ecuación p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2. En el punto (0,0), p = (1 + 4x^2)^(3/2)/2 = (1 + 0)/2 = ½. El radio de la curvatura de la función y = x^2 en el punto (0,0) es ½ y su centro es (0,2).

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