Cómo factorizar los métodos para el álgebra

Escrito por jessica ramer | Traducido por laura de alba
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Cómo factorizar los métodos para el álgebra
Factorizar expresiones algebraicas requiere aprender un par de reglas simples. (BananaStock/BananaStock/Getty Images)

Los números que son multiplicados juntos son llamados factores, mientras que la respuesta se llama producto. Para factorizar un número hay que comenzar con un producto y encontrar los factores que fueron multiplicados para obtener ese producto. Factorizar es, en cierto sentido, la multiplicación al revés. Los números pueden ser autorizados, pero también los binomios cómo x^2 - 1 y los trinomios como 4x^2 + 5x + 2. Factorizar trinomios requieren ser capaz de multiplicar los binomios. También requiere ser capaz de realizar operaciones aritméticas utilizando números negativos.

Nivel de dificultad:
Difícil

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Instrucciones

    Monomios que contienen variables

  1. 1

    Factoriza la constante en un producto de números primos. Utilizando 8x^3y^2 como ejemplo, el 8 puede ser factorizado en (2)(2)(2). Nota que el producto es 8 y el 2 es el primo.

  2. 2

    Factoriza los términos variables en sus componentes individuales. El x^3 puede factorizarse en (x)(x)(x) y y^2 se factoriza en (y)(y).

  3. 3

    Combina los resultados cuando escribas la factorización completa. La factorización completa es (2)(2)(2)(x)(x)(x)(y)(y), donde los paréntesis se utilizan para indicar multiplicación.

    Binomios

  1. 1

    Encuentra el máximo común divisor de los dos términos. Utilizando 4x^2 – 4 como ejemplo, el máximo común divisor, que es el número más grande que puede dividir de igual forma ambos términos, es 4.

  2. 2

    Divide cada término entre el máximo común divisor.

    En este ejemplo, estás dividiendo 4x entre 4 y -4 entre 4. Los cocientes son x^2 y -1.

  3. 3

    Escribe el máximo común divisor afuera de paréntesis. Dentro de los paréntesis, escribe los resultados obtenidos de dividir todos los términos en la expresión por el máximo común divisor.

    Para este problema, el resultado es 4(x^2 – 1). Nota que estás colocando un signo de resta entre los paréntesis porque el cociente encontrado al dividir el último término entre 4 fue -1.

  4. 4

    Factoriza la expresión que se encuentra entre paréntesis si es posible.

    En este ejemplo, la expresión entre paréntesis, x^2 – 1, se puede factorizar como (x + 1)(x – 1). Tanto el x^2 y el 1 son cuadrados perfectos porque son los productos obtenidos a multiplicar un número o expresión algebraica por sí misma. La expresión x^2 = (x)(x) y 1 = (1)(1). Debido a que estos dos cuadrados perfectos son restados, esta forma de binomio se llama "diferencia de dos cuadrados".

    Para factorizar la diferencia de dos cuadrados, toma la raíz cuadrada de cada uno de los dos términos. En un juego de paréntesis, suma los dos términos. En el segundo juego de paréntesis, resta los dos términos.

    La factorización completa es 4(x + 1)(x – 1)

    Trinomios cuadrados perfectos

  1. 1

    Determina si el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto determinando si el primer término y en último término son cuadrados perfectos y el término medio es par. También, en último término debe ser positivo. Si aplican estas condiciones, casi siempre tendrás un cuadrado perfecto. Existen un par de excepciones a esta regla, pero son muy raras.

    Para esta sección, utiliza x^2 – 2x + 1 como ejemplo. En este trinomio el x^2 y el 1 son cuadrados perfectos y el término medio es par.

  2. 2

    Encuentra la raíz cuadrada para el primero y el último términos. La raíz cuadrada de x^2 es x y la raíz cuadrada de 1 es 1.

  3. 3

    Escribe dos juegos de paréntesis y coloca la misma expresión en ambos. Debido a que el último término es positivo aunque el término medio es negativo, resta las dos expresiones.

    La respuesta se convierte en (x – 1)(x – 1) o (x – 1)^2.

    Otros trinomios

  1. 1

    Escribe todos los otros factores del último término cuando tu trinomio tiene un coeficiente que conduce a 1, pero no es un cuadrado perfecto. Utilizando el ejemplo x^2 – 3x + 2, encuentra todos los factores de +2. Estos factores podrían ser +1 y +2 o -1 y -2.

  2. 2

    Encuentra los factores del último término que se suma el coeficiente en el término medio. En este ejemplo, encuentra los factores de +2 que se suman a -3. Estos son -1 y -2.

  3. 3

    Colocados juegos de paréntesis. En la parte izquierda, escribe una x (o cualquiera que sea la variable que se está utilizando). En la posición de la derecha, escribe los factores del último término. En este ejemplo, la respuesta se convierte en (x – 1)(x – 2). Como ambos factores son negativos, estás restando en ambos conjuntos de paréntesis.

    Prueba y error

  1. 1

    Escriben los conjuntos de paréntesis vacíos cuando tengas un trinomio con un coeficiente diferente a 1. Repite este paso varias veces hasta que tengas ( )( ); ( )( ); ( )( )

    Si los números del trinomios son pequeños, necesitarás menos conjuntos de paréntesis. Si los números son mayores, necesitarás más. Para este ejemplo usa el trinomio 6x^2 – 7x – 5.

  2. 2

    Coloca todos los factores del primer término la posición izquierda de los paréntesis y todos los factores del último término constante en la posición derecha de los paréntesis. En este ejemplo, los factores de 6x^2 son 6x y 1x y 3x y 2x. Todos los factores de -5 son 1 y -5 y -1 y 5. La idea es formar todas las combinaciones posibles de factores:

    (6x + 1) (1x – 5) (6x – 1)(1x + 5) (6x + 5)(1x – 1) (6x – 5)(1x + 1) (3x + 1)(2x – 5) (3x – 1)(2x +5) (3x + 5)(2x – 1) (3x – 5)(2x + 1)

    Nota que todos estos pares de binomios producirán diferentes productos cuando se multipliquen.

  3. 3

    Multiplica todas las combinaciones utilizando el método que te guste para multiplicar binomios. La mayoría de las personas prefieren el método FOIL. La combinación que te de la expresión original como producto es la factorización correcta. Para este problema, multiplica (3x – 5)(2x + 1) utilizando el método FOIL.

    Primeros términos: (3x)(2x) = 6x^2 Términos externos: (3x)(1) = 3x Términos internos: (– 5)(2x) = – 10x Últimos términos: (– 5)(1) = – 5

    Sumar todos los términos altos da como resultado 6x^2 – 7x – 5, que es el trinomio original.

    Agrupar

  1. 1

    Multiplica el coeficiente del término cuadrado, que es frecuentemente llamado coeficiente conductor, por la constante. Utilizando el mismo trinomio, 6x^2 – 7x – 5, multiplica 6 X (-5) para obtener un producto de -30.

  2. 2

    Encuentran los factores del producto del coeficiente conductor y la constante que se suman coeficiente en el término medio. En este ejemplo, los factores -10 y 3 dan como resultado -7.

  3. 3

    Vuelve a escribir el término medio como dos términos separados. Utiliza los números que multiplicaste para obtener el producto del coeficiente y la constante y súmalos para dar como resultado el coeficiente del término medio. En este ejemplo, vuelve escribir el término medio, -7x, como -10x + 3x. Nota que estos dos términos se suman para obtener -7x y aún tienes el mismo valor.

  4. 4

    Vuelve a escribir el problema original completo, pero con los cuatro términos en lugar de tres. Si uno de los dos términos medios es positivo y el otro negativo, escribe el término negativo primero. La expresión se convierte en 6x^2 – 10x + 3x – 5.

  5. 5

    Separa los cuatro términos en grupos de dos términos utilizando paréntesis.

    (6x^2 – 10x) + (3x – 5)

    Nota que los dos grupos de paréntesis siempre deben estar separados por un signo de suma.

  6. 6

    Factoriza el máximo común divisor para cada conjunto de paréntesis.

    6x^2 – 10x se convierte en 2x(3x – 5) y 3x – 5 se convierte en 1(3x – 5)

    Nota que la misma expresión se encuentra en ambos conjuntos de paréntesis.

  7. 7

    Crea dos factores binomios para las expresiones. En este ejemplo, un factor es la expresión que se encuentren ambos conjuntos de paréntesis, 3x – 5. Crea el segundo factor combinando los términos que fueron autorizados fuera de los paréntesis. En este ejemplo, es (2x + 1. Los términos son sumados porque 1 se asume como positivo. La factorización completa es (3x – 5)(2x + 1). Nota que esta es la misma respuesta que encontramos utilizando el método de prueba y error.

Consejos y advertencias

  • Cuando factorices por agrupación, ten mucho cuidado si ambos términos medios son precedidos por un signo negativo. En este caso, tendrás que factorizar un factor negativo fuera del segundo conjunto de paréntesis. Por ejemplo, supongamos que volviste escribir los términos medios y obtuviste una expresión como 6x^2 – 14x – 3x + 7. Bajo ninguna circunstancia a ver lo siguiente: (6x^2 – 14x) – (3x – 7). Esto es absolutamente incorrecto porque un signo negativo directamente fuera de los paréntesis te dice que los distribuya. Hacerlo te daría -3x + 7, lo que cambia el problema completo. Si ambos términos medios tienen un signo negativo, vuélvelos escribir como (6x^2 – 14x) + (-3x + 7). Colocar el signo de suma evita que distribuyan de forma incorrecta un signo negativo y cambies el problema de forma incorrecta. Factorizar al máximo con un divisor debería dar 2x(3x – 7). Factoriza afuera un -1 cuando estés trabajando con el segundo conjunto de paréntesis y obtén -1(3x – 7). Nota que ambos conjuntos de paréntesis contienen la misma expresión. La factorización se convierte en (3x – 7)(2x – 1).

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