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Cómo factorizar polinomios de grado 3

Escrito por sky smith | Traducido por juliana star
Cómo factorizar polinomios de grado 3

Factorizar algunos polinomios es tedioso.

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La factorización de polinomios ayuda a los matemáticos a determinar los ceros, o soluciones, de una función. Estos ceros indican cambios críticos sobre tasas en aumento y decremento y generalmente simplifican el proceso de análisis. En el caso de los polinomios de grado tres o superior, lo que significa que el máximo exponente en la variable es un tres o un número mayor, factorizar puede ser más tedioso. En algunos casos los métodos de agrupamiento acortan la aritmética, pero en otros casos quizá necesitas saber más acerca de la función, o polinomio, antes de que puedas seguir adelante con el análisis.

Nivel de dificultad:
Moderadamente difícil

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Instrucciones

  1. 1

    Analiza el polinomio para considerar la factorización por agrupamiento. Si el polinomio se encuentra en la forma en la que la eliminación del máximo común divisor (MCD) de los dos primeros y los dos últimos términos revela otro factor común, entonces puedes emplear el método de agrupamiento. Por ejemplo, sea F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Cuando eliminas el MCD de los primeros y últimos dos términos obtienes lo siguiente: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Ahora puedes quitar (x – 1) de cada parte para obtener (x² – 4) (x – 1). Usando el método de las "diferencias de cuadrados" puedes ir un paso más adelante: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Una vez que cada factor esté en su forma primordial, o forma no factorizable, habrás terminado.

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    Busca una resta o suma de cubos. Si el polinomio tiene solamente dos términos, cada uno con un cubo perfecto, puedes factorizarlo en base a las fórmulas conocidas de los cubos, que para las sumas es (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²) y para las restas (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Por ejemplo, sea G(x) = 8x³ – 125. La factorización de este polinomio de tercer grado se basa en una resta de cubos de la siguiente forma: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), en donde 2x es la raíz cúbica de 8x³ y 5 es la raíz cúbica de 125. Dado que 4x² + 10x + 25 se encuentra en su forma primordial, has terminado de factorizar.

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    Revisa si existe un MCD que contenga una variable y que pueda reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, si H(x) = x³ – 4x, factorizando el MCD de "x" obtendrías x (x² - 4). A continuación usando la técnica de la diferencia de cuadrados puedes seguir descomponiendo el polinomio en x (x – 2) (x + 2).

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    Usa soluciones conocidas para reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, sea P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Dado que no hay un MCD ni una resta/suma de cubos, debes usar otra información para factorizar el polinomio. Una vez que descubras que P(c) = 0, sabes que (x – c) es un factor de P(x) en base al "Teorema del factor" del álgebra. Por lo tanto puedes encontrar dicho valor "c". En este caso, P(5) = 0, por lo que (x – 5) debe ser un factor. Si usas la división sintética o larga obtienes un cociente de (x² + x – 2), que se factoriza en (x – 1) (x + 2). Por lo tanto, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).

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