Cómo factorizar un trinomio difícil

Escrito por andrew cangiano | Traducido por martin santiago
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Cómo factorizar un trinomio difícil
Resuelve tus ejercicios de factorización de manera rápida y eficaz. (Jupiterimages, Brand X Pictures/Brand X Pictures/Getty Images)

Este artículo te explicará cómo usar el método de descomposición para factorizar un trinomio difícil. Explica el proceso completo de escribir un trinomio (expresado en forma cuadrática) como producto de dos binomios. Esto es útil para estudiantes de álgebra de nivel escolar secundario.

Nivel de dificultad:
Difícil

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Instrucciones

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    Primero debemos determinar qué hace que un trinomio sea "difícil" para factorizar. Un ejemplo de un trinomio difícil de descomponer es uno en el que el coeficiente del término cuadrático no es 1 y que no puede ser factorizado en tres términos. Por ejemplo analicemos el trinomio 3x2 + 10x + 8.

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    El coeficiente del término cuadrático, 3,no es factor común de los otros dos coeficientes, 10 y 8. Sin embargo podemos usar un proceso llamado método de descomposición para factorizar este trinomio. Comenzamos multiplicando el primer coeficiente, 3, por el último coeficiente,8. Usaremos el símbolo * para denotar multiplicación en lo que resta del artículo.

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    Ahora debemos mirar el coeficiente del término medio del trinomio, que es 10 en este caso. El objetivo aquí es determinar qué par de números se multiplican para dar 24 y se suman para dar 10. La manera de conocer si los dos números deben sumarse o restarse para obtener 10 es el signo entre el segundo y tercer término del trinomio 3x2 + 10x + 8. Como el signo entre 10x y 8 es el signo de adición, sabemos que los dos factores de 24 deben sumarse para dar 10.

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    Entonces, listamos los factores que se multiplican para obtener 24: 24 * 1 = 24 12 * 2 = 24 8 * 3 = 24 6 * 4 = 24 Ahora, ¿cuáles de estos factores suman 10? 24 + 1 = 25 12 + 2 = 14 8 + 3 = 11 6 + 4 = 10 6 y 4 son la respuesta correcta. Ahora que sabemos que 6 y 4 se suman para dar el término medio del trinomio 3x2 + 10x + 8 podemos reescribirlo como cuatro términos: 3x2 + 6x + 4x + 8.

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    A continuación, tomamos los cuatro términos y los separamos en dos partes, usando el signo de suma del medio como línea divisoria. Obtenemos así 3x2 + 6x y 4x + 8. Encontremos ahora el factor común entre ambas partes. Primero analicemos 3x2 + 6x. Vemos que 3x es el factor común entre 3x2 y 6x. Podemos expresar entonces este término como 3x (x + 2). MIramos ahora 4x + 8. El factor común aquí es 4. Obtenemos así 4 (x + 2).

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    Juntamos las dos partes otra vez: 3x (x + 2) + 4 (x + 2). Observamos que tenemos dos expresiones idénticas dentro de los paréntesis. Si no tienes la misma expresión, seguramente has cometido un error en el razonamiento anterior. La expresión (x + 2) es nuestro primer binomio. El segundo puede ser expresado usando los dos coeficientes, que son 3x y 4, entonces lo escribimos (3x + 4). De este modo el trinomio 3x2 + 10x + 8 puede ser factorizado en los binomios (x + 2) (3x + 4). Pero, ¿cómo podemos asegurarnos de que esto es correcto?

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    Podemos usar el método PIEF para verificar que hemos factorizado correctamente. PIEF es un acrónimo que expresa el orden el orden en el que multiplicamos los términos de los dos binomios y significa Primero, Interior, Exterior y Final. Miramos los binomios (x + 2)(3x + 4) y comenzamos multiplicando los primeros términos de cada paréntesis. x * 3x = 3x2 Luego, multiplicamos los términos exteriores x * 4 = 4x y los términos interiores 2 * 3x = 6x . Finalmente, multiplicamos los términos finales, 4 * 2 = 8 Esto nos da: 3x2 + 4x + 6x + 8 = 3x2 + 10x + 8. La respuesta coincide con el trinomio original. ¡Buen trabajo!

Consejos y advertencias

  • Este artículo explica cómo factorizar un trinomio difícil usando el método de descomposición. Otro método que puede utilizarse para resolver un trinomio difícil es el método del juego triple. La clave es, sin importar el método que utilices para llegar a una respuesta, que la verifiques utilizando PIEF.
  • Usando el método de descomposición para factorizar un trinomio con los mismos términos (por ejemplo 3x2, 10x y 8) pero con distintos signos (suma o resta) dará como resultado binomios distintos cuando la expresión quede factorizada. Como explicamos en el artículo, 3x2 + 10x + 8 puede ser factorizado a: (x + 2)(3x+4).
  • Sin embargo, si el trinomio fuera 3x2 – 10x – 8, se hubiera factorizado en (3x + 2)(x – 4). El método de descomposición puede ser utilizado para descomponer el trinomio, pero debes prestarle atención al signo suma o al signo menos cuando factorices.

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