Fórmula para calcular el volumen

Escrito por paul dohrman | Traducido por rafael ernesto díaz
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Fórmula para calcular el volumen
Los griegos conocían las fórmulas para calcular el volumen. (greek god image by Roberto of Tanglewood from Fotolia.com)

El cálculo puede utilizare para encontrar una serie de fórmulas para el volumen y el área, pero los antiguos griegos conocían dichas fórmulas sin utilizarlo en absoluto. Ellos encontraron fórmulas para el volumen de la esfera, cono, pirámide e incluso para objetos con más de cuatro lados.

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Pirámide cuadrada

Imagina una pirámide cuadrada, con una base de área a×a, de superficie decreciente hasta un punto en la parte superior. Hay capas n de altura h/n. Una pirámide de un número creciente de capas cada vez más delgadas puede ser construida de manera que la altura mantenga un total constante de h. El volumen de esa pila de cuadrados es (de mayor a menor) la suma del área por la altura de cada nivel: a×a× (h/n) + [(n-1) a/n] x [​​(n-1) a/n] x (h/n) + [(n-2) a/n] × [(n-2) a/n] × (h/n) + ... + [a/n] × [a/n] × (h/n) = a×a× h × 1/n × [1 + (n-1) ^2 / n^2 + (n-2)^2/n^2 + ... + (1/n) (1/n)]. Ten en cuenta que esto puede ser escrito como a×a×h × 1/n^3 × [?i^2], donde la suma es igual a n(n+1) (2n+1)/6, que puede ser probada por inducción matemática. Si los niveles disminuyen, entonces n tiende a infinito. El término primario de n es (2n^3)/(6n^3), que va a 1/3 cuando n aumenta. Así que el volumen de la pirámide es a×a×h/3.

Fórmula para calcular el volumen
Pirámide cuadrada. (pyramid image by Horticulture from Fotolia.com)

La inducción matemática

Que la suma de los cuadrados de 1^2 + 2^2 + ... + n^2 es igual a n(n+1)(2n+1)/6 puede demostrarse por inducción matemática, es decir, demostrar que la fórmula es válida para n=1. A continuación, muestra que si es válida para n, entonces se cumple para n+1. Por lo tanto, es válida para todos los enteros positivos n. Para n = 1, que la igualdad se cumpla es trivial. Ahora bien, supongamos que se cumple para n. Entonces 1^2 + 2^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 es igual n(n+1) (2n+1)/6 + (n+1). El objetivo es reordenar esto en la forma (n+1) ((n+1) +1)(2(n1)+1)/6. Eso va a demostrar que si la suma de los cuadrados hasta n^2 es igual a, n(n+1) (2n+1)/6, entonces la misma igualdad se cumple para n +1. n(n+1) (2n+1)/6 + (n+1) = (2n^3+2n^2+n^2+n)/6 +n^2+2n+1 = [(2n^3+3n^2+n) + (6n^2 +12 n +6)]/6 = (2n^3+6 n^2+4n+3n^2+9n+ 6)/6 = (n^2+3n+2) (2n+3)/6 = (n+1) (n+2) (2 (n+1)+1)/6 que estaba por ser probada.

Fórmula para calcular el volumen
La inducción matemática. (Trigonometry Maths Dictionary Definition image by treenabeena from Fotolia.com)

Una generalización

Ten en cuenta que el volumen de una pirámide cuadrada es 1/3 del volumen de un bloque de altura h con una base cuadrada. La forma de la base no afectó este resultado. Es por lo tanto un resultado generalizable. Se puede demostrar que una figura con la misma forma en cada nivel, convergiendo hacia un punto en la parte superior, es 1/3 del volumen de una figura de la misma la altura y el tamaño y forma constante en todas las alturas. Por lo tanto, ten en cuenta que la fórmula de un bloque triangular de lados a y altura h es ha^2sqrt(3)/4. Una pirámide triangular de lados a y altura h es por lo tanto ha^2sqrt(3)/12. Además, el volumen de un cilindro es pi x radio^ ×altura. El volumen de un cono es por lo tanto pi x radio^2 × altura/3.

Fórmula para calcular el volumen
Generalizaciones matemáticas. (3d composition of cylinder image by Sebastian Tomus from Fotolia.com)

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