¿Qué es la geometría topológica?

Escrito por carlos mano | Traducido por mariana perez
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¿Qué es la geometría topológica?
La teoría de nudos es una parte de la geometría topológica. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

La geometría topológica, también conocida como topología, es una de las más nuevas de las principales ramas de las matemáticas, aunque sus raíces se remontan varios siglos atrás. Antes de la topología, las matemáticas antes se definían como "la ciencia de la cantidad" pero la topología cambió eso. La distancia tiene poco o ningún significado en la topología y los cuadrados y los círculos son usualmente considerados la misma figura. La topología estudia atributos matemáticos más fundamentales.

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Historia

La topología comenzó en el pueblo alemán de Konigsberg. Los caballeros de ocio en la sociedad de café de Konigsberg se divertían planeando una excursión a pie por el centro de Konigsberg que cruzaba cada uno de los siete puentes en el área central una vez y sólo una vez. Después de años de intentos fallidos, ellos escribieron una carta al matemático más famoso de la época: Leonhard Euler. Él desarrolló una prueba matemática de que tal excursión era imposible, su artículo de 1736 delineado entonces es ahora considerado la primera publicación de un tema topológico. El problema es el mismo sin importar cuál largo o cuál apartado estén los puentes. Es la interconexión de los puentes la que es la esencia del problema.

Género

La topología es a veces llamada "geometría de hoja de goma" porque la topología reemplaza el plano rígido de la geometría clásica con una hoja de goma. Los cuadrados son considerados iguales a los círculos porque los cuadrados pueden ser transformados continuamente en círculos sin rasgar o romper. Los topólogos miran más distinciones fundamentales, como los hoyos. Una de las clasificaciones de los objetos geométricos es el género, el número de hoyos en el objeto. Los cuadrados y los círculos son ambos de género 0, sin hoyos. Las donas y las tazas de café son idénticos, ya que ambos son de género 1. Una taza de café sin asa, sin embargo, sería de género 0.

Formas extrañas

Los topólogos aman los objetos extraños, como objetos de un lado u objetos tridimensionales donde la parte interna y externa son el mismo lado. Probablemente la más famosa de ellas es la banda de Mobius. Puedes hacer una de estas al tomar una tira de papel y pegando los extremos juntos, dando a la banda un medio giro antes de aplicar el pegamento. Sin el giro sería una banda de papel con un interior y exterior claramente distinguibles. Sin embargo la banda de Mobius sólo tiene un lado. Si pones un lápiz en la banda y mueves la banda hasta que la línea del lápiz llegue al punto de inicio, encontrarás que la superficie entera de la banda está marcada, sin cruzar un borde.

Nudos

La teoría de nudos es considerada parte de la topología. El nudo conocido como bolina es el mismo si es atado en una pequeña cuerda o en cuerdas gigantes de un pie (30,48 cm) de diámetro. El tamaño y la distancia no son importantes, la bolina es algo más fundamental. Una de las diferencias básicas entre geometría y topología es la transformación por la que un objeto puede pasar y permanecer igual. En la geometría un objeto puede ser movido, rotado y volteado y permanece inmutable. En topología también puede ser estirado y doblado pero no desgarrado.

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