Las ideas básicas del teorema del resto

Escrito por saifuddin abdullah | Traducido por enrique pereira vivas
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Las ideas básicas del teorema del resto
El teorema del resto permite identificar rápidamente el resto de cualquier división polinómica. (Burke/Triolo Productions/Brand X Pictures/Getty Images)

El teorema del resto es una proposición matemática que generaliza el resto, o la cantidad que queda, después de cualquier proceso de división mediante la presentación de una relación entre los valores del divisor y del dividendo. Este teorema también se conoce como "teorema del residuo polinomial" ya que establece la relación entre el dividendo y el resto mediante la representación de ellos como polinomios (cualquier combinación aritmética de números y variables) que están constituidos por una simple relación de valores del divisor. Esta relación y su teorema correspondiente son aplicables a cualquier número o en cualquier proceso de división entre los números que se pueden representar como polinomios.

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Declaración matemática

Cualquier polinomio f(y) dividido por un número en una forma (y-d) produce un resto "r", que también se puede representar como otro polinomio f(d), donde "d" y "r" son números enteros e "y" es una variable que constituye el polinomio dividendo. Este estado presenta la idea básica de que el resto obtenido después de la división de f(y) también se puede obtener simplemente por el cálculo del valor del polinomio f(d), dado que se conocen los valores de "y" y "d".

Implementación

La aplicación del teorema del resto se lleva a cabo normalmente sobre polinomios de diferentes grados con el fin de obtener sus valores residuales. El "grado" de un polinomio se refiere a la potencia más alta de sus variables, y no existe una relación evidente entre esta potencia y el valor de resto obtenido. Un ejemplo de implementación del teorema del residuo sobre un polinomio de muestra puede explicarse considerando el polinomio de ejemplo f(y) = 2y-4 dividido por (y-3)​​; dado que y = 3, entonces poniendo "y" en f(y) resulta en 2(3) - 4 que da 2 como el resto de este proceso de división. De esta manera, el teorema del residuo hace que sea posible obtener el valor del resto sin llevar a cabo todo el largo proceso de división.

Aplicaciones

El teorema del resto es utilizado ampliamente por los estudiantes de matemáticas en la manipulación de polinomios de grados más altos, de la cual la división es una operación difícil y consume mucho tiempo. Por otra parte, este teorema generalizado también se emplea en aplicaciones de software de ingeniería y en aplicaciones matemáticas electrónicas, a través del cual los polinomios de grados más altos y estructuras aritméticas más largos se dividen sin ninguna complejidad.

Asociaciones

La asociación más relevante del teorema del residuo es con el proceso de "división larga polinómica" (otro método de división polinómica), que emplea un procedimiento más detallado para dividir polinomios de diferentes grados. Además, este teorema tiene una estrecha relación con el "teorema pequeño de Bezout", que de hecho es la forma original del teorema del residuo. Otra asociación del teorema del residuo es con el teorema del factor, que se utiliza simultáneamente con el primero para obtener las raíces de un polinomio. Por último, un teorema conocido como "teorema chino del resto" es una modificación del teorema del residuo, pero su aplicación es totalmente en el dominio de la teoría de números avanzada (una rama de la matemática pura) en lugar de hacerlo para las ecuaciones algebraicas comunes.

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