Métodos iterativos para ecuaciones lineales y no lineales

Escrito por mark stansberry | Traducido por martin santiago
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Métodos iterativos para ecuaciones lineales y no lineales
Utiliza métodos iterativos para encontrar los puntos en los que varias rectas y curvas se cruzan. (Ablestock.com/AbleStock.com/Getty Images)

Los métodos iterativos son procedimientos matemáticos utilizados para resolver las raíces de ecuaciones lineales y no lineales (los puntos donde la gráfica de una ecuación intersecta al eje x). También se utilizan para encontrar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales (los puntos en los que las gráficas de varias ecuaciones se cruzan entre sí). Estos métodos se utilizan como parte de programas de diseño asistido por ordenador (CAD) para calcular soluciones a los problemas de ingeniería y científicos.

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Proceso iterativo numérico

Los procesos iterativos utilizados para resolver las ecuaciones lineales y no lineales se basan en métodos de ensayo y error. Se genera primero una solución de prueba, que consiste en estimaciones numéricas para las variables utilizadas en la ecuación (una o varias). Las estimaciones numéricas de las variables se sustituyen entonces en la ecuación. El error relativo de los valores numéricos de la variable se calcula basándose en el valor real obtenido por la ecuación con las variables sustituidas y el valor numérico real al que está igualada la ecuación. Un nuevo cálculo de los valores numéricos de las variables se obtiene utilizando el error calculado. La nueva solución de prueba es sustituida de nuevo en las ecuaciones y se calcula el error relativo. El proceso se repite hasta que el error de la solución alcanza un valor mínimo prescrito.

Proceso iterativo gráfico

Gráficamente, el proceso iterativo requiere trazar los gráficos de cada ecuación en regiones en las que es más probable que estos gráficos se corten entre sí, y luego repetir el proceso a través de diferentes regiones hasta encontrar el punto en donde todas las gráficas se intersectan. El gráfico de las ecuaciones sobre una región se inicia en un extremo de la región y se continúa secuencialmente en una dirección. Si los gráficos tienden a crear rectas o curvas que se dirigen continuamente una hacia la otra (convergen) en lo que parece ser el punto de intersección de las ecuaciones, se grafican más puntos de las ecuaciones hasta que se alcanza el punto de intersección. Si las rectas o curvas tienden a divergir unas de otras, una nueva región se selecciona para la representación gráfica y los puntos de las ecuaciones para el resto de esa región no son calculados.

Raíces de ecuaciones

Los métodos numéricos iterativos se utilizan para encontrar el punto donde la gráfica de una ecuación intersecta el eje x. Estos puntos de intersecciones también se conocen como las raíces, ceros o x-intersecciones de la ecuación. Hay muchos métodos iterativos diferentes para encontrar las raíces de una ecuación. Se utilizan diferentes métodos dependiendo del tipo de ecuación que necesita ser resuelta. Por ejemplo, un método iterativo capaz de encontrar la raíz de un polinomio no convergerá a una solución de una ecuación que no sea polinómica.

Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

Los métodos iterativos se utilizan para encontrar el punto de intersección de dos o más ecuaciones lineales (rectas) o no lineales (curvas), también conocidos como sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Diferentes métodos iterativos se han desarrollado y continuarán siendo desarrollados para los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Se utilizan diferentes técnicas y distintos tipos de métodos iterativos para la resolución de estas dos clases de sistemas. Esto es debido a que no hay un método iterativo específico que se puede utilizar para resolver con éxito y de manera eficiente todos los tipos de sistemas lineales y no lineales. Ingenieros y programadores seleccionan el método iterativo a utilizar sobre la base de las características del sistema que necesita ser resuelto.

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