¿Qué ocurre cuando elevas un número a un exponente fraccionario?

Escrito por cam merritt | Traducido por mike tazenda
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¿Qué ocurre cuando elevas un número a un exponente fraccionario?
Elevar un número a una potencia fraccionaria es lo mismo que hallar su raíz. (fonctions de calculatrice scientifique image by dead_account from Fotolia.com)

Cuando "elevas un número a una potencia", estás multiplicando el número por sí mismo, y la potencia representa cuántas veces realizas la operación. 2 elevado a la potencia 3 es lo mismo que 2 x 2 x 2, lo cual equivale a 8. Sin embargo, cuando elevas un número a una fracción, estás yendo en la dirección contraria, ya que estás tratando de encontrar la "raíz" del número.

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Terminología

El término matemático para elevar un número a una potencia es "exponenciación". Una expresión exponencial tiene dos partes: la base, que es el número que quieres elevar, y el exponente, que representa la "potencia". De modo que cuando elevas 2 a la potencia de 3, 2 es la base y 3 el exponente. Elevar la base a una potencia de 2 normalmente se conoce como elevar al cuadrado, mientras que elevar a la 3ra potencia se llama elevar al cubo. Los matemáticos usualmente escriben expresiones exponenciales con el exponente como superíndice, es decir, un pequeño número en la parte superior derecha de la base. Como algunas computadoras, calculadoras y otros dispositivos no manejan los superíndices muy bien, las expresiones exponenciales comúnmente se escriben como 2^3. El signo de intercalación te indica que lo que sigue a continuación es un exponente.

Raíz

En matemática, "raíz" es como la exponenciación a la inversa. Por ejemplo, 2 elevado a la 4ta potencia se abrevia como 2^4. Ésto equivale a 2 x 2 x 2 x 2, o sea 16. Como 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces equivale a 16, la "raíz cuarta" de 16 es 2. Ahora observa el número 729. Éste puede descomponerse como 9 x 9 x 9, de modo que 9 es la raíz tercera de 729. También puede escribirse como 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3, o sea que 3 es la raíz 6ta de 729. La raíz segunda de un número normalmente se conoce como raíz cuadrada, y la raíz tercera, raíz cúbica.

Exponentes fraccionarios

Cuando el exponente es una fracción, lo que buscas es la raíz de la base. La raíz se corresponde con el denominador de la fracción. Por ejemplo, toma el número 125 elevado a la potencia 1/3 (o 125^1/3). El denominador de la fracción es 3, de modo que estás buscando la raíz tercera (o cúbica) de 125. Como 5 x 5 x 5 = 125, la raíz 3ra de 125 es 5. Por lo tanto, 125^1/3 = 5. Ahora prueba 256^1/4. Debes hallar la raíz cuarta de 256. Como 4 x 4 x 4 x 4 = 256, la respuesta es 4.

Numeradores distintos a 1

Los exponentes fraccionarios discutidos hasta ahora, 1/3 y 1/4, tienen ambos un numerador de 1. Si el numerador es distinto a 1, el exponente te está indicando que debes realizar dos operaciones: hallar una raíz y elevar a una potencia. Por ejemplo, considera 8^2/3. El denominador 3 te indica que estás buscando una raíz cúbica, mientras que el numerador 2 indica que debes elevar a la 2da potencia. No importa qué operación realices primero, obtendrás el mismo resultado de cualquier manera. Puedes comenzar tomando la raíz tercera de 8, que es 2, y luego elevarla al cuadrado, lo cual resulta en 4. O bien puedes comenzar elevando 8 al cuadrado, lo cual es 64, y luego tomar la raíz cúbica de ese número, que es 4 también. Mismo resultado.

Regla universal

De hecho la regla de "numerador como potencia, denominador como raíz" se aplica a todos los exponentes, incluso los exponentes enteros y los fraccionarios con numerador 1. Por ejemplo, el número entero 2 es el equivalente a la fracción 2/1. De modo que la expresión 9^2 es "en realidad" 9^2/1. Elevar 9 al cuadrado te da 81. Ahora debes obtener la "raíz primera" de 81. Pero la raíz primera de cualquier número es el mismo número, de modo que la respuesta sigue siendo 81. Ahora observa la expresión 9^1/2. Puedes comenzar elevando el 9 a la "primera potencia". Pero cualquier número elevado a su primera potencia es el mismo número. De modo que todo lo que tienes que hacer es hallar la raíz cúbica de 9, que es 3. La regla aún aplica, pero en estas situaciones, puedes saltearte un paso.

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