Pares de ángulos opuestos y congruentes formados por intersección de rectas

Escrito por carlos mano | Traducido por martin santiago
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Pares de ángulos opuestos y congruentes formados por intersección de rectas
Cuatro ángulos se forman cuando dos rectas se cruzan. (Photos.com/Photos.com/Getty Images)

Euclides dedicó una buena cantidad de tiempo en teoremas y demostraciones que involucran ángulos formados por rectas que se cruzan. Comenzó nombrando los ángulos relacionados con tal ángulo. Cuando dos rectas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Desde el punto de vista de cualquiera de estos ángulos, hay dos ángulos adyacentes y un ángulo opuesto.

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Rectas que se intersecan

Dos rectas son paralelas o se cortan en un punto. En el punto de intersección se forman cuatro ángulos. Estos ángulos se llaman "vertical", lo cual es un poco confuso. El significado más familiar de "vertical" es opuesto a "horizontal", pero otro significado de "vertical" es que comparte el mismo vértice. Desde el punto de vista de uno de estos ángulos, hay dos ángulos adyacentes y un ángulo opuesto, y todos estos ángulos son verticales, todos ellos comparten el mismo vértice. Los ángules adyacentes son suplementarios, suman 180 grados, porque cualquier par de ángulos adyacentes forma una línea recta.

Ángulos congruentes opuestos

Con los cuatro ángulos verticales formados por líneas que se intersectan, los ángulos opuestos son congruentes, tienen el mismo número de grados. Esto no es evidente, pero es fácil de demostrar. Deja que los ángulos se nombren A, B, C y D cuando se marcan en sentido horario. Para probar que los ángulos opuestos son congruentes, es suficiente probar que A es congruente con C. Debido a que los ángulos adyacentes son suplementarios: A + B = 180 grados y A + D = 180 grados. Esto significa que A + B + A + D = 360. Pero es obvio que A + B + C + D = 360 por lo que A = C.

Intersecando rectas paralelas

Cuando un sola recta atraviesa un par de líneas paralelas, las relaciones entre cada uno de los conjuntos de cuatro ángulos verticales son las mismas. Si los ángulos verticales hechos con una de las líneas paralelas son A, B, C y D, entonces los ángulos verticales hechos con la otra línea paralela también serán A, B, C y D, y los ángulos en lugares similares tendrán similares mediciones. Probablemente esto parece bastante obvio y no muy interesante. Resulta que este es un teorema muy valioso en el sentido de que es útil para probar otras relaciones menos obvias.

Pruebas que utilizan rectas que se intersecan

Muchas pruebas utilizan el teorema sobre una recta que corta un conjunto de líneas paralelas, pero una de las más simples es el hecho de que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180 grados. Coloca cualquier triángulo entre dos líneas paralelas, de modo que la base del triángulo está en una línea y la parte superior del triángulo está tocando la otra línea. Por el teorema paralelo, el ángulo entre la parte superior del triángulo y la línea que toca la parte superior del triángulo es igual a uno de los ángulos interiores de la base del triángulo. Esta imagen pone de manifiesto que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 grados.

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