Cómo calcular una función a partir de pares ordenados

Por macarena cansino ; última actualización 27/09/2019

En geometría analítica es común el uso de funciones, entre ellas la función de la recta. Veremos cómo calcular la función de la recta a partir de dos pares ordenados o calcular la ecuación de la recta dados dos puntos cualesquiera.

En álgebra, geometría analítica y en el cálculo matemático se hace uso de las funciones, entre ellas las ecuaciones de rectas. De hecho lo más fundamental que podemos estudiar en geometría analítica es la función de la recta, una de ellas la función generada a partir de dos pares ordenados.

Una función en matemáticas produce una salida a partir de una entrada. Una analogía que aplica para entenderlas sería una licuadora. La función hace las veces de una, en la licuadora pones fresas y tendrás licuado de fresas, pones banana y leche obteniendo un batido.

A esto se refieren los matemáticos cuando escriben una función como f(x) = x + 1. Coloca fresas “x” en la función y obtendrás un batido “x + 1”.

En este artículo en particular veremos cómo calcular la función de la recta a partir de dos pares ordenados o calcular la ecuación de la recta dados dos puntos cualesquiera.

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La ecuación general de la recta

La gráfica de la función f(x) = x + 1 define una recta la cual posee una pendiente o razón de cambio de “y” en “x” de 1 y corta al eje de las ordenadas (eje Y) en 1. Es solo un ejemplo.

De hecho, la ecuación general de la recta se expresa de la forma f(x) = y = m(x) + b.

Dónde:

  • “y” será la ordenada de un valor “x”.
  • “m” será la pendiente de la recta.
  • “x” un valor dado de coordenada en el eje de X.
  • “b” el punto o coordenada en que la recta intercepta al eje Y. 

Existen varias formas de encontrar la función o la ecuación de una recta en particular.

Tenemos la forma pendiente - intersección, la ecuación punto pendiente y la recta que pasa por dos puntos o función de la recta a partir de dos pares ordenados.

Monterrey Institute nos presenta ejemplos para cada caso. En adelante concentrémonos en la función a partir de pares ordenados.

Función de la recta a partir de pares ordenados

En geometría analítica, en específico en la función de la recta, tenemos el caso de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos o pares ordenados (x, y).

Esta se emplea para hallar la ecuación de la recta cuando no se conoce ni la pendiente, ni la intercepción con el eje “Y”; pero si tenemos dos puntos cualquiera por donde pase esa recta.

La ecuación de la función a partir de dos pares ordenados (x1, y1); (x2; y2) tiene la forma:

(y – y1) = y2 – y1x2 – x1 (x – x1)

Una vez mejor ubicados en el contexto, veamos cómo calcular la función a partir de pares ordenados.

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¿Cómo calcular la función de la recta que pasa por dos puntos?

Escribe los pares ordenados o puntos (x, y) que quieras analizar. Por ejemplo, coloca (3,7) y (7,2). De manera que x1 = 3; x2 = 7; y1 = 7 y y2 = 2.

Teniendo claras las coordenadas con las que trabajarás, calcula la pendiente bajo la forma y2 – y1x2 – x1.

Paso 1: Cálculo de la pendiente de la recta

La pendiente se determina mediante el cociente de la diferencia del segundo término de tu punto 2 (y2) y el segundo término de tu punto 1 (y1) dividido entre la diferencia del primer término del segundo par (x2) y el primer término del primer par (x1).

Resuelve usando tu calculadora Casio o la de tu preferencia. De manera que (2 - 7)/(7 - 3) = -1,25.

Tenemos que nuestra recta que pasa por los pares ordenados tendrá una pendiente negativa de -1,25.

Sustituye tu respuesta como el valor de “m” en la ecuación y = mx + b. Por ejemplo, escribe y = -1,25x + b.

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Paso 2: Cálculo de la intercepción con el eje Y

Ahora nos falta hallar el valor de la intercepción con el eje Y o eje de las ordenadas.

Sustituye el primer término del primer par ordenado (x1) en la misma ecuación en lugar de la variable x. Por ejemplo, escribe y = (-1,25 x 3) + b.

Sustituye el segundo término del primer par ordenado (y1) en la misma ecuación en lugar de la variable y. Por ejemplo, escribe 7 = (-1,25 x 3) + b.

Simplifica tu ecuación de la recta completando el producto en el paréntesis usando tu calculadora.

Así tendremos que 7 = -3,75 + b. Luego nos resta despejar a “b” y encontrar así el corte de la recta en el eje Y.

Despejando a b, llevamos el -3,75 al primer miembro de la ecuación sumando al 7 y tendremos b = 7 + 3,75.

Simplificando a través de la adición hemos encontrado el valor de b de nuestra recta que pasa por dos puntos, escribimos b = 10,75.

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Paso 3: Sustituir en los valores en la función de la recta

Ya solo nos resta reemplazar los valores encontrados en la ecuación de forma y = mx + b.

Con m = -1,25 y b = 10,75 tenemos que la recta que pasa por los pares ordenados (3,7) y (7,2) tiene la forma:

y = -1,25x + 10,75.

Acabamos de desarrollar con detalle un ejemplo de cómo hallar una función a partir de pares ordenados de la forma (x, y).

En el dominio Fisimat.com encontrarás más ejemplos de ecuaciones de rectas que pasan por dos puntos.