Cómo probar las coordenadas para un paralelogramo

Escrito por mike gamble | Traducido por laura de alba
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Cómo probar las coordenadas para un paralelogramo
Puedes verificar los vértices de un paralelogramo sin trazar los puntos. (Ryan McVay/Photodisc/Getty Images)

Puedes probar que cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo de numerosas formas. Primero traza los puntos, y después muestra que los lados opuestos son paralelos, que los lados opuestos son equivalentes o que las diagonales se bisecan entre ellas. Eso es algo bastante sencillo para que haga una persona, pero tratar de transportar ese procedimiento a un programa informático es un poco más desafiante porque requiere trazar y determinar estos atributos, como los lados opuestos y las diagonales. Sin embargo, no es necesario trazar para determinar que las coordenadas pertenecen a un paralelogramo.

Nivel de dificultad:
Moderadamente fácil

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Instrucciones

  1. 1

    Calcula la distancia entre todos los pares posibles de puntos finales con la fórmula d = sqrt((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2), donde (x1, y1) y (x2, y2) son los pares de coordenadas para cualquier par de puntos. Usando las etiquetas "a1" hasta "a4", las combinaciones de puntos finales serían a1a2, a1a3, a1a4, a2a3, a2a4 and a3a4. Por ejemplo, dados los puntos (1, 3), (6, 6), (3, 5) y (4, 4), las distancias serían: d(a1a2) = sqrt((6 - 3)^2 + (6 - 1)^2) = 5,83 d(a1a3) = sqrt((5 - 3)^2 + (3 - 1)^2) = 2,83 d(a1a4) = sqrt((4 - 3)^2 + (4 - 1)^2) = 3,16 d(a2a3) = sqrt((5 - 6)^2 + (3 - 6)^2) = 3,16 d(a2a4) = sqrt((4 - 6)^2 + (4 - 6)^2) = 2,83 d(a3a4) = sqrt((4 - 5)^2 + (4 - 3)^2) = 1,41

  2. 2

    Descarta las distancias correspondientes a las diagonales. Si los cuatro puntos son vértices en paralelogramo, deberías encontrar al menos dos pares de distancias equivalentes. Si puedes emparejar todas las distancias con otra de longitud equivalente, entonces esos puntos son los vértices de un cuadrado o rectángulo, y por lo tanto habrás probado que es un paralelogramo. De otra forma, deberías tener cuatro distancias equivalentes o dos pares de distancias iguales. Añade las dos distancias que no tienen equivalente, y verifica que la suma sea mayor de dos veces la distancia más grande que la mayor distancia que se puede emparejar. La suma de las diagonales de un paralelogramo es mayor que la suma de los dos lados más largos.

    En el ejemplo dado, hay dos pares de distancias equivalentes con longitudes de 3,16 y 2,83, así que permanece como candidato a paralelogramo. La suma de las distancias no emparejadas es de 5,83 + 1,41 = 7,24, que es mayor que la suma de los lados más largos: 2 x 3,16 = 6,23. Si hubiera sido menor podría haberse tratado de un trapezoide isósceles o un cuadrilátero cóncavo en lugar de un paralelogramo. Si la suma hubiera sido equivalente a 6,32, los cuatro puntos habrían sido colineales.

  3. 3

    Verifica que ambos pares de distancias equivalentes involucran a los cuatro puntos. Si tienes cuatro distancias iguales, divédelas en dos parejas de forma que satisfagan esta condición, o verifica que las distancias descartadas involucren a los cuatro puntos.

    Por ejemplo, 3,16 es la distancia entre los puntos a1 y a4, y a2 y a3, de forma que cuente para los cuatro puntos. También puedes contabilizar a los cuatro en el cálculo de la distancia 2,83, de forma que es un paralelogramo. Por otro lado, si la distancia 3,16 hubiera sido entre a1 y a4, y a1 y a3, por ejemplo, el punto a2 hubiera estado perdido. Eso habría indicado que los lados equivalentes son antecedentes entre ellos en lugar de opuestos, y por lo tanto hubiera sido una forma de cometa en lugar de un paralelogramo.

Consejos y advertencias

  • Las diagonales de un paralelogramo forman cuatro triángulos con los lados del paralelogramo. Con el teorema de la inequidad triangular, puedes probar que la suma de las diagonales es mayor que la suma de los dos lados más largos.

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