Cómo resolver funciones lineales por partes con derivadas

Escrito por karl wallulis | Traducido por juliana star
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Cómo resolver funciones lineales por partes con derivadas
Las funciones por partes se definen mediante un conjunto de ecuaciones en vez de una sola ecuación. (Comstock Images/Comstock/Getty Images)

Las funciones lineales por partes son aquellas que tienen discontinuidades o valores en los que los resultados de f(x) y/o su derivada f'(x) no cambian de forma paulatina. Las discontinuidades pueden aparecer como agujeros en el gráfico o como saltos discontinuos de un valor 'y' a otro. Cuando tengas las derivadas de una función lineal por partes, calcula las anti-derivadas por partes y sustituye el valor inicial para eliminar la constante de integración. Esto dará como resultado una ecuación de la función lineal por partes, que puedes usar para resolver otros valores de la función.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

  1. 1

    Calcula la función por partes mediante la anti-diferenciación (integración indefinida) de las derivadas por partes, usando la regla de la potencia para las antiderivadas: si f'(x) = A, f(x) = Ax + C. Por ejemplo, si una función lineal por partes tiene como derivada f'(x)= {2, x < -2; -3, x >= -2} y f(2) = 0, puedes anti-diferenciar las dos ecuaciones para obtener f(x) = {2x + C, x < -2; -3x + D, x >= -2}.

  2. 2

    Sustituye el valor inicial de f(x) en la ecuación correspondiente y resuelve la constante de integración. En el ejemplo anterior, f(2) = 0. Sustituye este valor en la ecuación por partes para f(x) cuando x = 2: f(x) = -3x + D. Esta ecuación se vuelve 0 = -3(2) + D, por lo tanto D = 6. De esta forma la ecuación por partes es f(x) = -3x + 6, x >= -2.

  3. 3

    Usa la función definida en el Paso 2 para resolver el valor de f(x) solicitado en la pregunta. Por ejemplo, si la pregunta pide obtener el valor de f(9), sustituye el valor x = 9 en la ecuación por partes para obtener f(9) = -3x + 6, dando como solución f(9) = -3*9 + 6 o f(9) = -21.

  4. 4

    Repite el Paso 2 para otras ecuaciones en la función por partes si se te proporcionan otros valores de f(x). En el ejemplo anterior, puedes resolver para la constante de integración en la ecuación f(x) = 2x + C, x < -2, si se te proporciona un valor de f(x), cuando x sea menor a -2. Si tienes el valor f(-4) = 1, puedes resolver para la constante de integración sustituyendo los valores, obteniendo así 1 = 2*-4 + C, o C = 9, por lo tanto f(x) = 2x + 9, x < -2.

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