Cómo simplificar fracciones con exponentes

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Las fracciones y los exponentes juntos pueden ser confusos. Las fracciones pueden tener exponentes y los exponentes pueden ser fracciones. Incluso las fracciones pueden tener exponentes fraccionales. Cualquiera de éstos pueden ser intimidantes la primera vez que los veas, pero todos pueden computarse de una manera sencilla si sigues unos cuantos patrones.

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Paso 1

Evalúa una fracción elevada a un exponente positivo como lo harías con cualquier exponente (como una multiplicación repetida). Por ejemplo, (3/4)^3 = (3/4) X (3/4) X (3/4) = 9/64. Para exponentes más grandes esto puede ser complicado, pero existe una regla de exponentes para fracciones que puede simplificar el proceso. (a/b)^n = (a^n/b^n). Esto significa que (3/4)^3 = (3^3)/(4^3) =9/64. Las reglas estándar para los exponentes 0 y 1 aplican por lo que (3/4)^0 = 1 and (3/4)^1 = 3/4. Cuando el exponente es negativo la fracción puede invertirse para deshacerte del signo negativo en el exponente. (a/b)^-n = (b/a)^n.

Paso 2

Encuentra el valor del número elevado al exponente fraccional descomponiendo la fracción en dos factores, un número y una fracción con uno en el numerador. Por ejemplo, (27)^(2/3) = (27)^(2 X (1/3)) = ((27)^(1/3))^2 = 3^2 = 9. En otras palabras, cuando un exponente es 1/n significa que la raíz es enésima. Esto es más claro si miras porqué, por ejemplo, K^(1/2) es la misma que la raíz cuadrada de K. Fíjate que (K^(1/2)) X (K^(1/2)) = K^((1/2) + (1/2)) = K^1 = K. Si K^(1/2) se comporta como la raíz cuadrada de K, será igual a la raíz cuadrada de K. El mismo patrón puede verse para cualquier exponente fraccional con uno en el numerador.

Paso 3

Calcula una expresión fraccional con exponentes aislados sobre la fracción usando la regla (a^n/a^m) = a^(n - m). Por ejemplo, (5Z^12)/(10 Z^7) = (Z^5)/2 y (5Z^2)/(10 Z^7) = 1/(2Z^5). Fíjate que el cambio de signo del exponente mueve la expresión hacia arriba o abajo a través de la barra de la fracción, así (3X^-2)/5 = 3/(5X^2) y 3/(5X^-2) = (3X^2)/5.

Consejos y advertencias

  • Para todas estas reglas, cuando el exponente sea uno, puede simplemente borrarse, y cuando sea cero, la expresión completa evalúa a uno, sin importar qué compleja sea la expresión. (X -- sin importar su complejidad)^1 = X y (Y -- sin importar su complejidad)^0 = 1.
  • Todas estas reglas, como (a^n) X (a^m) = a^(n + m) y (a^n) / (a^m) = a^(n - m); solo funciona porque las bases son las mismas. Así (a^n) X (b^m) = a^(n + m) o (a^n) / (b^m) = b^(n - m) solo si a = b.

Referencias

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