Cómo simplificar el seno y el coseno

Escrito por carlos mano | Traducido por mayra cabrera
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Cómo simplificar el seno y el coseno
Los senos y cosenos son proporciones de ciertos lados de un triángulo. (Thinkstock/Comstock/Getty Images)

En el siglo 14, los matemáticos árabes inventaron el seno y el coseno para describir las proporciones de longitud de los lados de triángulos rectángulos. En los siglos que siguieron, se encontró que los senos y cosenos fueron fundamentales para la estructura de las funciones en general, cuando el matemático francés Fourier demostró que casi cualquier función puede ser expresada en términos de senos y cosenos. En tiempos más recientes, el matemático suizo Euler ha mostrado cómo una serie infinita de senos y cosenos puede ayudarnos a entender los números complejos.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

    Instrucciones

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    Expresa las proporciones de ciertos lados de un triángulo rectángulo como un seno o un coseno. Esta es la expresión más simple de senos y cosenos. Si tienes un triángulo rectángulo y estás viendo el triángulo desde uno de los ángulos más pequeños, ese ángulo tiene tanto seno como coseno. El seno del ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa del triángulo. El coseno es el cociente correspondiente al otro lado corto con la hipotenusa. Las tablas de senos y cosenos de ángulos diferentes existen en forma de tablas impresas y en la mayoría de las calculadoras científicas.

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    Dibuja las curvas de seno y coseno para obtener una sensación intuitiva de la naturaleza de estas funciones. Ambos gráficos tienen la misma curva, pero están "fuera de fase"; si los graficas juntos, cada uno es el otro desplazado hacia la izquierda o la derecha. Ambas funciones tienen un valor máximo de más uno y un valor mínimo de menos uno y ambas funciones se repiten sin fin en ambas direcciones. Si comienzas a rodar un disco por el eje X con una pluma unida al borde del disco, la pluma podría dibujar una curva senoidal o cosenoidal dependiendo de dónde comienza el disco.

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    Utiliza las representaciones de series infinitas de seno y coseno para mostrar cómo se relacionan con otras funciones matemáticas. Sen X = X - X^3/3! + X^5/5! - X^7/7! + ..., y así sucesivamente. Cos X = 1 - X^2/2! + X^4/4! - X^6/6! + ..., y así sucesivamente. La más obvia de estas relaciones es con la función exponencial del número de Euler: e^X = 1 + X/1! + X^2/2! + X^3/3! + ..., y así sucesivamente. Esto se traduce en la muy útil relación: e^iX = Cos X + i Sen X que se utiliza para traducir los marcos de referencia en la geometría 3D.

Consejos y advertencias

  • Dos relaciones útiles entre seno y coseno son Sen A = Cos (A*) y Cos (A) = sen (A*), donde A * = 90 º - A. También es útil la relación (Sen Z)^2 + (Cos Z)^2 = 1.
  • Las declaraciones acerca de las proporciones de los lados de un triángulo son sólo ciertas para triángulos rectángulos. Una regla que funciona para todos los triángulos es la Ley de los senos: a/Sen A = b/sen B = c/sen C, donde a es la longitud del lado opuesto al ángulo A, etc.

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