Solución general de los sistemas de ecuaciones lineales diferenciales

Escrito por amy harris Google | Traducido por mayra cabrera
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Solución general de los sistemas de ecuaciones lineales diferenciales
Aprender cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales es parte de la materia de álgebra de la secundaria. (Comstock Images/Comstock/Getty Images)

Por lo general, los estudiantes aprenden a resolver sistemas de ecuaciones lineales diferenciales durante la última parte de un curso de álgebra escolar de secundaria. También referidos a veces como "ecuaciones simultáneas", los sistemas de ecuaciones pueden representar un desafío para muchos estudiantes. El tema, sin embargo, ofrece a los estudiantes una oportunidad para la flexibilidad y la creatividad rara vez visto en álgebra básica, ya que les permite elegir su propio método para resolver el problema.

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Definiciones

Una ecuación lineal consta de dos expresiones o series de términos separados por signos "más" o "menos" que se ponen iguales entre sí. Las variables en cada término de una ecuación lineal no puede poseer exponentes mayores que uno, no pueden contener raíces cuadradas y no se pueden multiplicar o dividir entre sí. Por ejemplo, el término x^2 no se encuentra en una ecuación lineal, mientras que una ecuación lineal puede poseer términos tales como 5, -9x, y 4y. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de al menos dos ecuaciones que poseen variables comunes. En tales sistemas, el valor de una variable depende del valor de la otra. Por ejemplo, 3x - y = 5 e y = 11 - x comprende un sistema de ecuaciones. "Diferencia" es otro término para la "sustracción", por eso esta ecuación lineal es una de diferencia.

Comprensión y búsqueda de soluciones

La solución de un sistema consiste en un valor específico para cada variable que, cuando está sustituida en todas las ecuaciones del sistema, produce una declaración verdadera. En el ejemplo anterior, las soluciones son x = 4 e y = 7, ya que son los únicos valores que satisfacen ambas ecuaciones. Hay cuatro formas diferentes de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: sustitución, eliminación, gráficas y matrices. Los tres primeros métodos son los más adecuados para sistemas que comprenden exactamente dos ecuaciones, mientras que las matrices funcionan mejor para sistemas compuestos por tres o más ecuaciones.

Sustitución

La sustitución es el más básico y quizás el más confiable de los tres primeros métodos. Para utilizar el método de sustitución, resuelve una de las ecuaciones para una de las variables, entonces sustituye esa expresión en la otra ecuación para la variable designada. Simplifica, obteniendo un valor de una variable y utiliza ese número para encontrar el valor de la otra variable.

Eliminación

El método de eliminación solo funciona para ciertos sistemas. Por ejemplo, una variable de una ecuación debe poseer un coeficiente idéntico al coeficiente de la misma variable en la ecuación de otro, o estos coeficientes deben ser múltiplos uno del otro. Para utilizar el método de eliminación, alinea los términos semejantes, a continuación, añade o resta conforme en la columna primaria se sume o se reste. Una variable será eliminada; resuelve la variable restante a través del método de sustitución.

Graficar

Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones lineales diferenciales es el punto de intersección de todas las líneas en el sistema. Por tanto, para resolver un sistema de esta manera, grafica manualmente en papel cuadriculado o mediante el uso de una calculadora gráfica. Entonces visualmente encuentra el punto en el que las líneas se crucen.

Matrices

Una matriz consta de coeficientes de un sistema de ecuaciones colocados en un rectángulo o cuadrado y entre corchetes. Las matrices pueden ser resueltas por medio de manipulaciones de matriz, principalmente transformaciones de fila como suma, resta o multiplicación.

Sin solución o soluciones infinitas

Algunos sistemas de ecuaciones lineales diferenciales no pueden resolverse. Dichos sistemas consisten de líneas paralelas que nunca se cruzan. Otros sistemas poseen un número infinito de soluciones. Las ecuaciones en estos sistemas describen la misma línea, por eso sus gráficos se solapan por completo y por lo tanto todos los puntos son esencialmente los puntos de intersección.

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