Qué son los números primos relativos en Matemáticas

Escrito por tom kantain | Traducido por enrique pereira vivas
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Qué son los números primos relativos en Matemáticas
La teoría de números subyace en los dispositivos informáticos. (Thomas Northcut/Photodisc/Getty Images)

La teoría de números se ocupa de sus propiedades y de los sistemas numéricos, incluyendo conceptos tan elementales como suma, resta, multiplicación y división. Aunque son elementales, no son de ninguna manera simples; resulta que hay verdades profundas y sutiles sin cesar por descubrir acerca de los números y de cómo se relacionan entre sí. Aparte de ser hermosos por derecho propio, los principios elegantes descubiertos en la teoría de números con frecuencia resultan tener importantes aplicaciones prácticas de la ciencia, la informática, la ingeniería y la criptografía.

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Números primos y compuestos

Lo más fácil es definir un número primo en términos de lo que no es. El opuesto de un primo es un número compuesto, que es un número que se puede expresar como el producto de dos números enteros mayores que 1. Por ejemplo, 10 es un número compuesto, ya que es igual a 2 veces 5. Un número primo, por otra parte, sólo se puede dividir exactamente por 1 y por sí mismo; 2 y 5 son dos números primos. Los números primos son de gran interés para los matemáticos y también son muy útiles en la criptografía, especialmente los números primos muy grandes.

Números primos relativos

Como su nombre lo indica, los números primos relativos son primos en relación entre sí. Esto significa que no comparten factores comunes (excepto el número 1). Por ejemplo, 63 y 65 son primos relativos, aunque cada uno es un número compuesto, porque 63 = 3 x 3 x 7, mientras que 65 = 5 x 13. Curiosamente, a pesar de que 13 sí es un número primo, 13 y 65 no son primos entre sí, porque 65 es divisible por 13.

Establecimiento de los números primos relativos

Si dos números, A y B, tienen un factor común (es decir, no son primos entre sí), entonces la diferencia entre ellos será un múltiplo de ese factor común. En términos algebraicos, si N es un factor común de A y B, entonces A = yN y B = zN, así que A - B = yN - zN = N(y - z). Esto puede acelerar el proceso de determinar si A y B son primos entre sí, ya que sólo se necesita poner a prueba los factores de (A - B), en lugar de tener que factorizar exhaustivamente tanto A como B, que puede tomar un tiempo muy largo cuando A y B son muy grandes.

Un uso de los números primos relativos

A menudo uno quiere expresar una fracción en su mínima expresión. Por ejemplo, 969/1.938 no es tan fácil de trabajar como 1/2, a pesar de que ambas fracciones tienen el mismo valor. Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, ya que no hay un número por el cual se puedan dividir ambos. Por lo tanto, si eres capaz de probar rápidamente una primalidad relativa, puedes saber si una fracción se puede simplificar aún más.

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