¿Cómo calcular volumen usando una matriz?
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El concepto de encontrar volumen utilizando una matriz regularmente se piensa en un curso de álgebra lineal. Para encontrar un volumen, la matriz está compuesta de vectores colocados en columnas. La matriz A para un paralelepípedo hecho de los vectores [x1, y1, z1], [x2, y2, z2] y [x3, y3, z3] es representada por:
[ x1 x2 x3 y1 y2 y3 = A z1 z2 z3]
El concepto de volumen en el álgebra lineal tiene un significado diferente al del curso de geometría. El volumen representa del tamaño de la figura representada por el número de vectores en la matriz. Por ejemplo, una matriz con un vector, 1 cuadro, tiene un volumen que representa su longitud. La gráfica es un vector. La matriz A con dos vectores, 2 cuadro, tiene un volumen que representa su área. La gráfica es un paralelogramo. Una matriz con tres vectores, 3 cuadro, tiene el volumen representando el espacio adentro. La gráfica es un paralelepípedo. Más dimensiones, n, se pueden añadir más allá de tres, n cuatro, Pero no se les dan nombres formales. El volumen de n cuatro en una matriz m por n se encuentra tomando la raíz cuadrada del determinante del producto de la trasposición de la matriz y la matriz, V = sqrt (det(A^T*A). En el caso especial de una matriz n por n, el volumen es sólo el valor absoluto del determinante de A, V = abs (det(A)).
Encuentra el volumen de un n cuadro formado por un vector de matriz m por n
Step 1
Establece el vector de matriz, A. Ejemplo: encuentra el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores [2, 3, -1], [-4, 5, 0], [1, -2, 4].
[2 | -4 | 1 3 | 5 | -2 -1 | 0 | 4]
Step 2
Incorpora la matriz A para encontrar A^T. Las filas de A convierten las columnas de A^T.
[2 | 3 | -1 -4 | 5 | 0 1 | -2 | 4]
Step 3
Multiplica A^T por A usando las reglas para la multiplicación de matrices. La y la 1 en A^T multiplica a la columna 1 en A siendo sumado cada paso de multiplicación para encontrar el nuevo valor 1,1. 2(2)+3(-4)+(-1)(1) = 4-12-1 = -9. La fila 1 en A^T multiplica a la columna 2 en A siendo sumado cada paso de multiplicación para encontrar el nuevo valor 1,2. 2(-4)+3(5)+(-1)(0) = -8+15+0 = 7. El proceso continúa hasta que se encuentren los nueve valores en la multiplicación de matriz.
[2(2)+3(3)+(-1)(-1) | 2(-4)+3(5)+(-1)(0) | 2(1)+3(-2)+(-1)(4) -4(2)+5(3)+0(-1) | (-4)(-4)+5(5)+0(0) | (-4)(1)+5(-2)+0(4) 1(2)+(-2)(3)+4(-1) | 1(-4)+(-2)(5)+4(0) | 1(1)+(-2)(-2)+4(4)]
[14 | 7 | -8 7 | 41 | -14 -8 | -14 | 21]
Step 4
Calcula el valor del determinante para la matriz producto, A^T*A.
14(41)(21)+7(-14)(-8)+(-8)(7)(-14)-[(-8)(41)(-8)+14(-14)(-14)+7(7)(21)] 12054+784+784-[22624+2744+1029] 13622-6397 7225
Step 5
Calcula la raíz cuadrada del resultado para encontrar el volumen. El volumen del ejemplo es la raíz cuadrada de 7225. El resultado de volumen es 85 unidades cúbicas.
Encontrar el volumen de un cuadro n formado por un vector de matriz cuadrado n por n
Step 1
Establece el vector de matriz, A. Ejemplo: encuentra el volumen de un paralelepípedo determinado por los vectores [2, 3, -1], [-4, 5, 0], [1, -2, 4].
[2 | -4 | 1 3 | 5 | -2 -1 | 0 | 4]
Step 2
Calcula el determinante de A.
2(5)(4)+(-4)(-2)(-1)+1(3)(0)-[1(5)(-1)+2(-2)(0)+(-4)(3)(4)] 40-8+0-[-5+0-48] 32-(-53) 85
Step 3
Encuentra el valor absoluto del resultado. El valor absoluto de 85 es 85.
El volumen del paralelepípedo es de 85 unidades cúbicas.
Referencias
- University of California, Davis: Volume of a Parallelepiped (Volumen de un paralelepípedo)
- "Linear Algebra," Fraleigh Beauregard, 1995
- Doug Taylor, math teacher, Taft, CA
Consejos
- Cuando el vector de matriz es cuadrado o n por n, calcula el volumen utilizando los pasos en la Sección Dos para hacer más corto el proceso.
- La calculadora graficadora calculará las operaciones de matriz en menos tiempo, pero los pasos para calcular el volumen permanece igual con o sin el dispositivo.
Advertencias
- Cuando multipliques A^T*A, el orden de las matrices es importante. Debes anotar primero A^T. La multiplicación de matrices no es conmutativa. A por B no equivale a B por A.
Sobre el autor
Valerie Taylor holds a master's degree in ancient history and a bachelor's degree in education and literature. She coauthored an article on Spartan religion for the "Journal of Sparta" in 2010 and has written numerous, history-related articles for Internet publication. Taylor enjoys hiking, gardening and running half-marathons.
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