Cómo encontrar ceros en ecuaciones cúbicas

Escrito por carlos mano | Traducido por beatriz sánchez
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Cómo encontrar ceros en ecuaciones cúbicas
Las ecuaciones cúbicas tienen tres raíces, al menos una de las cuales es real. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Los ceros de una ecuación son valores que se pueden sustituir por la variable en la ecuación para producir un valor de cero. Por ejemplo, -1 es un cero de X^2 + 2X + 1 porque (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. Un término menos confuso de estos valores son las "raíces". Una ecuación cúbica es un polinomio de grado tres. Esto quiere decir que es un polinomio donde el exponente mayor es tres. Una ecuación cúbica tendrá tres raíces, aunque dos de ellas serán complejas.

Nivel de dificultad:
Moderado

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Instrucciones

  1. 1

    Dibuja la ecuación cúbica. Los lugares donde la curva del gráfico se cruza con el eje X son la raíz real. Si hay raíces complejas, siempre irán en parejas, de forma que si una ecuación cúbica tiene raíces complejas, habrá dos raíces complejas y una raíz real. Si hay una raíz doble, como X^3 + X^2 - X - 1 = (X - 1)(X + 1)^2, la curva trazada tocará el eje X en un punto.

  2. 2

    Usa los primeros y último números en la ecuación cúbica para generar factores candidatos. Los factores tiene las mismas raíces que el cubo y son mucho más sencillos de resolver. Los primeros y últimos números de los factores serán los factores de los primeros y últimos números en el cubo. Por ejemplo, el primer número en X^3 - 7X - 6 es 1 (el coeficiente de X^3) que sólo tiene un factor: 1. El último número es 6 que tiene los factores 1, 2, 3 y 6. Los factores candidatos son X - 1, X + 1, X - 2, X + 2, X - 3, X + 3, X - 6 y X + 6.

  3. 3

    Prueba cada factor candidato para ver qué factores dividen el cubo sin dejar resto. Para el cubo X^3 - 7X - 6 encontramos que X^3 - 7X - 6 = (X + 1)(X + 2)(X - 3). Las raíces del cubo son las mismas que las raíces de los factores, la solución de la ecuación es X + 1 = 0, X + 2 = 0 y X - 3 = 0. Las raíces son -1, -2 y 3.

Consejos y advertencias

  • Si el cubo sólo es divisible por los factores candidatos y el otro es un segundo grado de la forma aX^2 + bX + c, el segundo grado puede tener raíces complejas. Si las tiene, b^2 - 4ac será negativo. Si b^2 - 4ac = 0, hay una raíz doble, y si b^2 - 4ac es positivo, el segundo grado es el producto de dos de los factores candidatos.
  • No puedes conseguir de forma confiable las raíces sólo del gráfico. Es demasiado fácil cometer un error al conseguir la información de esta forma. Deberías comprobar las raíces de forma algebraica. Si r es realmente una raíz, entonces X - r debería dividir el cubo sin dejar un resto.

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