Cómo factorizar polinomios al cubo

••• Thomas Northcut/Photodisc/Getty Images

Factorizar polinomios ha sido de gran interés para los matemáticos durante siglos. Encontrar factores de un polinomio es equivalente a encontrar las raíces de una ecuación asociada, que es una ayuda clave en el álgebra. Numerosos métodos se han desarrollado para encontrar las raíces de los polinomios de varios órdenes, incluyendo los polinomios cúbicos.

Agrupar

Passo 1

Expresa al polinomio al cubo en la forma estándar de: ax^3 + bx^2 + cx +d, en donde "^" implica "elevado a la potencia de". Nota que "b", "c" o"d" pueden ser cero, pero "a" no puede. De otra forma, el polinomio ya no es cúbico.

Passo 2

Separa los términos en dos grupos en la forma de (ax^3 + bx^2) + (cx +d).

Passo 3

Extrae, en turno, el máximo común divisor, o MCD, de cada uno del primer grupo: (ax^3 + bx^2) y el segundo: (cx + d) por separado, en donde existen, y expresa cada grupo en forma factorizar. Nota que x^2 será parte de cualquier factor del primer grupo de términos.

Passo 4

Extrae el MCD, en donde exista, en el primer y segundo grupos combinados. El resultado ideal se encontrará en la forma: (x - g)(x - h)(x - i), aunque no siempre se puede llegar a esto en todos los casos. Multiplica los términos para verificar que la factorización sea correcta.

Reducción a segundo grado

Passo 1

Busca un factor obvio del polinomio. El teorema del factor dice que, si un polinomio f(x) tiene una raíz g, de forma que f(g) = 0, entonces ese polinomio tiene un factor (x - g).

Prueba, por turno, valores como 0, +1, -1, +2, -2. Donde un valor, digamos x = g, resulta que reduce el polinomio a cero, divide el polinomio original entre (x - g) y factoriza los resultados en forma de (x - g)(px^2 + qx + r). Nota que el polinomio en el segundo paréntesis es ahora un cuadrado.

Passo 2

Repite el Paso 1 para ver si hay otro factor obvio para el polinomio al cuadrado y factorízalo para obtener la forma ideal de (x - g)(x - h)(x - i).

Passo 3

Usa la fórmula de ecuación de segundo grado de (-q + or – √(q^2 - 4pr))/2p, para el polinomio cuadrado en el Paso 1, ya no se encuentran más factores en el Paso 2. Esto dará los otros dos factores: (-q + √(q^2 - 4 pr))/2p y (-q - √(q^2 - 4pr))/2p.

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