La diferencia entre la geometría euclidiana y la esférica

Escrito por yvonne bernard | Traducido por javier enrique rojahelis busto
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La diferencia entre la geometría euclidiana y la esférica
La geometría se ha utilizado desde los primeros días de la civilización. (Ryan McVay/Photodisc/Getty Images)

Los antiguos egipcios y otras civilizaciones antiguas desarrollaron y utilizaron las matemáticas en sus primeras formas de construir ciudades, revolucionaron su mundo y allanaron el camino para los futuros desarrollos en los campos de la ciencia y las matemáticas. Los principios de las matemáticas han mantenido su verdad a través de las distintas épocas, incluso a medida que se han desarrollado. La definición de Euclides de lo que llamamos geometría euclidiana es un ladrillo dentro de la fundación de la matemática moderna.

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Geometría euclidiana

La geometría euclidiana está descrita en "Los Elementos", que el matemático griego Euclides escribió en el año 300 AC. En esa obra se incluyen 13 libros, que presentan los cinco postulados y principios en que se basa la geometría euclidiana. Esta obra es la primera entrega sistemática de lo que se conoce como geometría. Euclides observó las propiedades de los círculos, los cuadrados, los triángulos, los planos y otras entidades geométricas, y registró estas propiedades como una serie de axiomas y teoremas que siguen siendo relevantes hoy en día. Estos cinco principios están típicamente establecidos de la siguiente forma: dos puntos determinan una línea; una línea recta se puede extender infinitamente; dado un punto y una distancia, se puede extraer un círculo con el punto como centro y la distancia como su radio; todo los ángulos rectos son iguales; y dado un punto p y una recta l, hay exactamente una recta que pasa por p no en l que es paralela a l. También se incluyen en los "Elementos" las siguientes cinco ideas: las cosas que son iguales a otra cosa también son iguales entre sí; y si son iguales y se añaden cosas iguales, entonces los totales son iguales; y si son iguales y se restan cosas iguales, entonces los restos son iguales; las cosas que coinciden con otra son iguales a la tercera; y el conjunto es mayor que la parte.

La geometría no euclidiana

La geometría no euclidiana es cualquier campo de la geometría que no es euclidiana en su naturaleza. En las geometrías no euclidianas, el quinto postulado de la geometría euclidiana, conocido como teorema del postulado de las paralelas, dado un punto p y una recta l, hay exactamente una recta que pasa por p que es paralela a l - no es válido. Se trata de un estudio de las formas geométricas y los objetos que no se comportan de acuerdo con los axiomas y postulados establecidos en la geometría euclidiana. Al contrastar las dos descripciones generales de geometría, se consideran dos líneas rectas en un plano de dos dimensiones que se extienden indefinidamente, son paralelas entre sí y son perpendiculares a una tercera línea. En la geometría euclidiana, estas líneas se mantienen a una distancia constante la una de la otra, y permanecen paralelas. En algunas geometrías no euclidianas, las líneas se curvan distanciándose la una de la otro. En otras geometrías no euclidianas, las líneas se curvan una hacia la otra y se cruzan.

Geometría elíptica

En su sentido más amplio, la geometría elíptica es descrita como una geometría no euclidiana en la que si se da una recta l y un punto p, una línea paralela a l que pase por p no existe. El postulado de Euclides del teorema de las paralelas no es cierto en la geometría elíptica. En la geometría elíptica, no existen líneas paralelas en absoluto. Una de las propiedades de la geometría elíptica, que difiere de la geometría euclidiana, es que la suma de los ángulos de un triángulo en la geometría elíptica es siempre mayor que 180 grados. El teorema de Pitágoras también falla en la geometría elíptica. Hay dos tipos principales de geometría elíptica: la esférica y la proyectiva.

Geometría esférica

La geometría esférica es un sub-conjunto de la geometría elíptica. Es la geometría de la superficie de una esfera en dos dimensiones. Los conceptos básicos de los puntos y las líneas se definen como en la geometría plana euclidiana, pero las líneas están definidas de tal forma que la distancia más corta entre dos puntos se encuentra a lo largo de ellos. Las líneas de la geometría esférica son círculos máximos, que son los círculos más grandes que se pueden dibujar en una esfera. El ecuador es un ejemplo de un gran círculo. Las aplicaciones prácticas de esta geometría incluyen los principios de la navegación y la astronomía.

Geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica es una geometría no euclidiana, y es también conocida como lobachevskiana o geometría Bolyai-lobachevskiana. El postulado del teorema de las paralelas de la geometría euclidiana no es cierto en la geometría hiperbólica. En la geometría euclidiana, dada una línea l y un punto p que no está en la línea en dos dimensiones, hay exactamente una línea a través de p que no interseca l, o, en otras palabras, es paralela a l. En la geometría hiperbólica, hay al menos dos líneas únicas, llamadas asíntotas, que pasan a través de p y que no se intersecan l. Los ángulos de un triángulo en la geometría hiperbólica suman menos que un ángulo recto o 180 grados. También hay triángulos hiperbólicos ideales donde los tres ángulos son iguales a cero grados. La geometría hiperbólica es crucial en la Teoría de la Relatividad de Einstein y se utiliza ampliamente en el campo de la topografía.

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