Cómo hacer pruebas epsilon delta

Escrito por carlos mano | Traducido por analia moranchel
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Cómo hacer pruebas epsilon delta
Las pruebas delta epsilon se utilizan para resolver preguntas acerca de los límites. (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Los estudiantes se encuentrancon las pruebas epsilon delta durante la clase de cálculo de primer año. Estas pruebas son la forma clásica de mostrar que una función se acerca a un límite específico cuando la variable independiente se acerca a un valor declarado. Se llama prueba epsilon delta a partir de quinta y cuarta letra, respectivamente, del alfabeto griego. Estas letras se utilizan tradicionalmente en la definición del proceso de límite, por lo que también se utilizan en el proceso de prueba.

Nivel de dificultad:
Moderadamente difícil

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Instrucciones

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    Trabaja desde la definición formal de un límite. La definición formal de un límite es la siguiente: el límite de f(x) es L cuando x se aproxima a k si para cada epsilon mayor a cero, hay un delta correspondiente mayor a cero tal que si el valor absoluto de la diferencia entre x y k es menor que delta, entonces el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L es menor que epsilon. De manera más informal, esto significa que el límite de f(x) es L cuando x se aproxima a k si puedes hacer que f(x) esté tan cerca de L como quieras al hacer que x esté lo suficientemente cerca de k. Para hacer pruebas epsilon delta, debes demostrar que puedes definir delta en términos de epsilon para una determinada función y límite.

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    Manipula "|f(x) - L| es menos que epsilon" hasta obtener "|x - k| es menos que algo". Permite que ese "algo" sea delta y tendrás la relación. Ten en cuenta la definición formal y la idea central, que es lo que quieres demostrar. Para cualquier epsilon hay un delta que hace que la definición funcione. Debes definir delta en términos de epsilon.

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    Mira varios ejemplos para hacerte una idea sobre cómo proceden estas pruebas. Por ejemplo, para demostrar que el límite, en cuanto x se aproxima a 1, de 3x - 1 es 2, permitimos que k = 1, L = 2 y f(x) = 3x - 1. Para hacer que |f(x) - L| sea menor que epsilon, haz que |(3x - 1) - 2| sea menor que epsilon. Lo que significa que |3x - 3| es menor que epsilon y 3|x - 1| es menor que epsilon o |x - 1| es menor que epsilon/3. Así que si dejamos que delta = epsilon/3, |f(x) - L| es menor que epsilon siempre que |x - k| sea menor que delta.

Consejos y advertencias

  • La parte central de la prueba se encuentra en transformar f(x) - L en x - k. Si mantienes este objetivo en mente, el resto de la prueba generalmente se acomoda correctamente.
  • A veces, los argumentos sobre límites adoptan la forma de que f(x) tiende al infinito cuando x tiende al infinito. Las pruebas epsilon delta no funcionan cuando el límite tiende al infinito. En estos casos, puede hacerse una prueba similar si eliges dos números grandes M y N que demuestren que f (x) puede superar a M al hacer que x supere a N, cuando M puede ser tan grande como quieras.

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