Trucos para factorizar las ecuaciones de segundo grado

Escrito por kim cois | Traducido por laura de alba
Trucos para factorizar las ecuaciones de segundo grado

Cuando una ecuación de segundo grado es un cuadrado perfecto, puede ser más sencillo factorizarla.

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Las ecuaciones de segundo grado son fórmulas que se pueden escribir en la forma Ax^2 + Bx + C = 0. Algunas veces, se pueden simplificar mediante factorización, es decir, expresar la ecuación como producto de términos separados. Esto puede hacer que la ecuación sea más sencilla de resolver. Los factores algunas veces pueden ser difíciles de identificar, pero existen trucos que hacen que el proceso sea más sencillo.

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Reduce la ecuación por medio del máximo común divisor

Examina la ecuación de segundo grado para determinar si hay un número y/o variable que pueda dividir cada término de la ecuación. Por ejemplo, considera la ecuación 2x^2 + 10x + 8 = 0. El número más grande que puede dividir uniformemente cada término de la ecuación es 2, así que 2 es el máximo común divisor (MCD). Divide cada término de la ecuación entre el MCD y multiplica la ecuación completa por ese número. En la cual el ejemplo 2x^2 + 10x + 8 = 0, esto daría como resultado 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2). Simplifica la expresión completando la división en cada término. No debe haber fracciones en la ecuación final. En el ejemplo, el resultado sería 2(x^2 + 5x + 4) = 0.

Busca la diferencia de cuadrados (si B = 0)

Examina la ecuación de segundo grado para ver si está en la forma Ax^2 + 0x – C = 0, en donde A = y^2 y C = z^2. Si éste es el caso, la ecuación de segundo grado está expresando la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo en la ecuación 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 y C = 9 = 3^2, de forma que y = 2 y z = 3. Factoriza la ecuación en la forma (yx + z)(yx – z) = 0. En la ecuación del ejemplo, y = 2 y z = 3; por lo tanto la ecuación de segundo grado factorizada es (2x + 3)(2x – 3) = 0. Ésta será siempre la forma factorizada de una ecuación de segundo grado que es la diferencia de cuadrados.

Busca los cuadrados perfectos

Examina la ecuación de segundo grado para ver si es un cuadrado perfecto. Si lo es, se puede escribir en la forma y^2 + 2yz + z^2, tal como la ecuación 4x^2 + 12x + 9 = 0, que podría describirse como (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. En este caso, y = 2x, y z = 3. Comprueba si el término 2yz es positivo. Si lo es, los factores de la ecuación de segundo grado de cuadrado perfecto siempre son (y + z)(y + z). Por ejemplo en la ecuación de arriba, 12x es positivo, por lo tanto los factores son (2x + 3)(2x + 3) = 0. Comprueba si el término 2yz es negativo. Si lo es, los factores siempre son (y – z)(y – z). Por ejemplo si la ecuación de arriba tuviera el término -12xen lugar de 12x, los factores serían (2x – 3)(2x – 3) = 0.

Método de multiplicación FOIL inverso (si A = 1)

Establece la forma factorizada de la ecuación de segundo grado escribiendo (vx + w)(yx + z) = 0. Recuerda las reglas de la multiplicación FOIL (First, Outside, Inside, Last [primero, externo, interno, último]). Como el primer término de la ecuación de segundo grado es un Ax^2, ambos factores de la ecuación deben incluir una x. Resuelve para "v" y "y" considerando todos los factores de A en la ecuación de segundo grado. Si A = 1, entonces tanto "v" como "y" siempre serán 1. En la ecuación del ejemplo x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, de forma que "v" y "y" se pueden resolver en la ecuación factorizada para obtener (1x + w)(1x + z) = 0. Determina si w y z son positivos o negativos. Las siguientes reglas aplican: C = positivo y B = positivo; ambos factores tienen un signo + C = positivo y B = negativo; ambos factores tienen un signo – C = negativo y B = positivo; el factor con el valor mayor tiene un signo + C = negativo y B = negativo; el factor con el valor mayor tiene un signo – En el ejemplo de la ecuación del Paso 2, B = -9 y C = +8, así que ambos factores de la ecuación tendrán signos – y la ecuación factorizada se puede escribir como (1x – w)(1x – z) = 0. Haz una lista de todos los factores de C para poder encontrar los valores para w y z. En el ejemplo de arriba, C = 8, así que los factores son 1 y 8, 2 y 4, -1 y -8, y -2 y -4. Los factores deben sumarse como B, que es -9 en la ecuación del ejemplo, así que w = -1 y z = -8 (o viceversa) y nuestra ecuación es completamente factorizada como (1x – 1)(1x – 8) = 0.

Método de la caja (si A no es = 1)

Reduce la ecuación a su forma más simple, usando el método del máximo común divisor enlistado arriba. Por ejemplo en la ecuación 9x^2 + 27x – 90 = 0, el MCD es 9, así que la ecuación se simplifica a 9(x^2 + 3x – 10). Dibuja un cuadro y divídelo en una tabla con dos filas y dos columnas. Coloca Ax^2 de la ecuación simplificada en la fila 1, columna 1; y C de la ecuación simplificada en la fila 2, columna 2. Multiplica A por C y en cuenta todos los factores del producto. En el ejemplo de arriba, A = 1 y C = -10, así que el producto es (1)(-10) = -10. Los factores de -10 son -1 y 10, -2 y 5, 1 y -10 y 2 y -5. Identifica cuáles factores del producto AC suman B. En el ejemplo, B = 3. Los factores de -10 que suman 3 son -2 y 5. Multiplica cada uno de los factores identificados por x. El ejemplo de arriba esto resultaría en -2x y 5x. Coloca estos dos términos nuevos en los dos espacios vacíos en la tabla, de forma que luzca así: x^2 | 5x _________ -2x | -10 Encuentra el MCD para cada fin de columna del cuadro. En el ejemplo, el MCD para la fila superior es x y para la fila inferior es -2. El MCD de la primera columna es x y el de la segunda columna es 5. Escribe la ecuación factorizada en la forma (w + v) (y + z) usando los factores identificados de las filas de la tabla para w y v y los factores identificados de las columnas para "y" y z. Si la ecuación fue simplificada en el Paso 1, recuerda incluir el MCD de la ecuación en la expresión factorizada. En el caso del ejemplo, la ecuación factorizada sería 9(x – 2)(x + 5) = 0.

Consejos

Asegúrate de que la ecuación está en la forma cuadrática estándar antes de comenzar cualquiera de los métodos descritos. No siempre es sencillo identificar un cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados. Si rápidamente puedes ver que la ecuación de segundo grado que estás tratando de factorizar está en estas formas, podría ser de gran ayuda. Sin embargo, no pases mucho tiempo tratando de descubrir esto, ya que otros métodos podrían ser más rápidos. Siempre comprueba tu trabajo multiplicando los factores utilizando el método FOIL. Siempre se deben multiplicar al revés de la ecuación de segundo grado original.

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